Для функции полезности выяснить являются ли наборы товаров самыми полезными
В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи, касающиеся функции полезности, задачи выбора потребителем набора благ при заданном бюджетном ограничении, максимизации полезности, заменяемости товаров и т.д.
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
Функция полезности: задачи с решениями
Задача 1. Функция полезности имеет вид: $TU=4xy$, где X и Y – количество товаров. Расходы потребителя на эти два товара в месяц равны 1200 р., цена товара X – 400 р., товара Y – 300 р. Определите оптимальный объем ежемесячных закупок двух данных товаров и соответствующее ему значение общей полезности.
Задача 2. Условия: потребитель расходует 200 руб. в неделю на покупку товаров А и В.
Цена (руб.) Кол-во покупаемых единиц товаров Общая полезность Предельная полезность
А 7 20 500 20
В 5 12 1000 30
Задание: Объяснить, как должен поступать потребитель, чтобы максимизировать получаемую полезность при данном бюджете.
Задача 3. Потребитель покупает три товара Х, Y, Z, цены которых соответственно равны Px=100 руб.; Py=70 руб.; Pz=50 руб.
Функции общей полезности разных благ: $F(TU(x))=3sqrt{Qx}$, $F(TU(y))=5sqrt{Qy}$, $F(TU(z))=5sqrt{Qz}$.
Определить:
1) каким образом потребитель может использовать денежный запас 500 рублей для достижения максимальной полезности при потреблении и рассчитать её количественно;
2) то же, если при покупке более, чем 2-х товаров Px снижается на 25%, а Py – на 50%
Задача 4. Допустим, потребитель имеет доход 200 ден. ед. На рисунке показаны две бюджетные линии (I и II) и соответствующие им кривые безразличия.
Определить координаты (P,Q) двух точек линии спроса данного потребителя на товар Х.
Задача 5. Общая полезность благ $alpha$ и $beta$ для некоего потребителя описывается уравнениями $U_alpha = q_alpha(15 – 0,5q_alpha)$, $U_beta = q_beta(30 – q_beta)$. Допустим, потребитель располагает бюджетом для покупки $alpha$ и $beta$ в размере 120 руб., цены на $alpha$ и $beta$ равны соответственно 5 и 10 руб. Определить количество $alpha$ и $beta$, максимизирующее полезность потребителя.
Задача 6. Потребитель тратит 7 долларов в день на товары X и Y. MU товара X для него равна $10 – x$, где $x$ – количество X в шт. MU товара Y: $21 – 2y$, где $y$ – количество Y в шт. Р 1 ед. товара X = 1 доллар, P 1 ед. Y = 1 доллар. Какое количество X и Y купит рациональный покупатель?
Задача 7. В таблице представлена предельная полезность для походов в магазин.
Имея 100 руб. 80 коп. потребитель купил 3 буханки хлеба по цене 8 руб. за буханку, 4 пакета молока по 11 руб. 20 коп. за пакет и 2 пачки сахара по 16 руб. за пачку. Достиг ли он максимума полезности? Ответ обосновать и в случае отрицательного ответа определить объем покупок, обеспечивающий максимум полезности при данном бюджете.
Задача 8. Построить кривую безразличия для двух абсолютно взаимозаменяемых товаров: пепси-колы и кока-колы, если их цены за литр равны 8 и 10 ден. ед. при бюджете на их потребление, равном 40 ден. ед.
Задача 9. Индивидуум имеет функцию полезности типа Неймана—Моргенштерна, а элементарная функция полезности строго возрастает и зависит только от одного аргумента (денег). Лотерея 6 долларов и 10 долларов с вероятностями 1/3 и 2/3 и лотерея 3 доллара и 9 долларов с вероятностями 2/3 и 1/3 для него эквивалентны. Что можно сказать о склонности данного индивида к риску?
Задача 10. Пусть функция полезности наборов из двух товаров $X=(x_1,x_2)$ имеет вид $u(x_1,x_2)=x_1^{1/7}x_2^{1/6}$.
• Найти набор товаров, который имеет такую же полезность, как набор $X_1=(5,3)$ и количество второго товара равно 1.
• Для набора $X_1=(5,3)$ найти предельные полезности первого и второго товаров.
• В наборе $X_1=(5,3)$ количество первого товара увеличивается на 0,1, а второго уменьшается на 0,2. Найти приближённое изменение полезности.
Задача 11. Функция полезности потребителя имеет вид $u(x_1,x_2)=(x_1-50)^{1/7}(x_2-40)^{1/6}$.
1. Найти равновесный спрос и его полезность, если рыночная цена первого товара $p_1=5$, рыночная цена второго товара $p_2=3$ и потребитель выделяет на приобретение товаров сумму $M=5000$ денежных единиц.
2. Найти функции спроса на оба вида товаров.
3. Найти спрос на оба товара при увеличении дохода на 30 денежных единиц и при уменьшении дохода на 60 денежных единиц.
Задача 12. Для потребителя с функцией полезности $U(x_1,x_2)=x_1^{1/3}x_2^{1/4}$
1) найдите функцию спроса на каждый товар;
2) найдите точку спроса при доходе $K=60$ и ценах $P=(2,4)$.
Задача 13. Решить прямую задачу потребителя (найти оптимальную потребительскую корзину). Дано: Функция полезности потребителя $U=sqrt{xy}$. Цена блага х равна 15, цена блага у равна 20, доход потребителя равен 300.
Найти: Оптимальный набор благ потребителя $(х, у)$.
Задача 14. Предельная полезность первой единицы блага равна 300. При потреблении первых трех единиц блага предельная полезность каждой последующей единицы уменьшается в 2 раза. Предельная полезность каждой последующей единицы блага при дальнейшем потреблении падает в 5 раз. Найти совокупную полезность 5 единиц блага.
Консультируем по решению задач микроэкономики
Может быть интересно:
Бинарные отношения и функция выбора не всегда удобны для моделирования экономических систем и анализа этих моделей. Гораздо чаще используется функция, которая в числовой форме выражает предпочтения лица, принимающего решение. В микроэкономике это понятие используется для объяснения поведения предпринимателей и потребителей, в макроэкономике предпочтения рассматриваются с точки зрения государственных интересов.
Вещественная функция u, определенная на множестве A и удовлетворяющая условиям
u () > u (), тогда и только тогда, когда P, (1.3.1)
для любых ,A , называется порядковой функцией полезности для отношения P на A. Если для отношение предпочтения P определена функция полезности u, то
u()=u(), тогда и только тогда, когда I.
Отсюда следует, что классами безразличия в A будут подмножества альтернатив c одинаковыми значениями функции u.
Пример 1.3.1 [3, с. 459]. Пусть
A={,,} и P, P, P. Положим
u()=1000, u()=999, u()=0,
v()=1000, v()=1, v()=0.
Функции u и v являются порядковыми функциями полезности для отношения P на A, несмотря на то, что в первом случае полезность альтернативы равна 999, а во втором – только 1.
Каким же условиям должно удовлетворять отношение предпочтения P, чтобы вместо него можно было рассматривать функцию полезности? Этот вопрос до сих пор является предметом дискуссий. Дело в том, что дополнительные требования к отношению предпочтения вводятся аксиоматически и обоснованность той или иной системы аксиом не является бесспорной.
Если множество A состоит из детерминированных исходов, то для существования функции полезности достаточно выполнения аксиом 1- 6. Однако, эксперт (инвестор, ЛПР), поставленный перед проблемой выбора, не всегда с полной определенностью знает последствия этого выбора. Например, полезность покупки может оказаться меньше (или больше) ожидаемой из-за изменений условий ее использования. Кроме того, результаты некоторых действий всегда имеют случайный характер (ситуации с элементами риска). Рисковые ситуации часто возникают в банковской сфере, на финансовых рынках, в инновационной и предпринимательской деятельности промышленных предприятий и т.д. Дж. фон Нейман и О.Моргенштерн предположили, что потребитель в случайных ситуациях ведет себя рационально, то есть из многочисленных альтернатив он выбирает ту, которая дает наибольшую ожидаемую полезность. Вероятности возможных исходов должны быть известны.
Простой лотереей (или лотереей) L=(p,x;(1- p),y) называется случайное событие с двумя возможными исходами x и y, вероятности которых равны p и (1-p), 0? p?1. На рис.1.3.1.(a) дана графическая иллюстрация случайного события z, являющегося лотереей L=(p,x;(1- p),y). Аналогично определяется лотерея с тремя и большим числом возможных исходов. Теория полезности предполагает, что для каждой пары лотерей лицо, принимающее решение, может определить, какая лотерея для него предпочтительней (лучше). Отношения предпочтения на множестве лотерей аналогичны бинарным отношениям R, P и I на множестве альтернатив A. Детерминированное событие можно рассматривать как частный случай лотереи.
Рис.1.3.1. Лотерея с двумя исходами |
Для измерения ожидаемой полезности уже не достаточно выбирать шкалы, согласованные друг с другом только в отношении порядка.
Пример 1.3.2. Пусть A={,,} и P, P, P. Рассмотрим две порядковые функции полезности для отношения P на A
u()=20, u()=12, u()=10,
v()=200, v()=180, v()=100.
Сравним теперь промежуточную альтернативу с лотерей L=(,;,), состоящей в случайном выборе между наилучшей альтернативой и наихудшей альтернативой . Получаем:
u(L)= u()+u()=15>u(), v(L)= v()+v()=150< v ().
Таким образом, при использовании функции u, ожидаемая полезность лотереи L больше, чем полезность альтернативы , а при использовании функции v – наоборот.
Для моделирования рисковых ситуаций используется функция, удовлетворяющая более жестким требованиям, чем порядковая функция полезности. Вещественная функция u, определенная на множестве A, удовлетворяющая (1.3.1) и условию
u(p,;(1- p),) = p u() + (1- p) u(), (1.3.2)
для любых ,A и p[0,1], называется линейной функцией полезности (функцией полезности Неймана-Моргенштерна) для отношения P на A.
Для существования линейной функции полезности нужны дополнительные предположения.
Аксиома 7.
Из P и 0<p<1 следует P(p,;(1-p),).
Если альтернатива предпочтительней, чем , то должна быть предпочтительней, чем лотерея, в которой достижима с вероятностью p.
Аксиома 8 (независимость).
Из P и 0<p<1 следует (p,;(1-p),) P (p,;(1-p),),
для любого A.
Аксиома 9 (правила комбинирования).
.
Лотереи, отличающиеся процедурой их осуществления, эквивалентны, если конечные результаты и вероятности этих результатов равны (на рис.1.3.2 дана графическая иллюстрация эквивалентных лотерей).
Аксиома 10 (непрерывность).
Из P, P, P следует существование такого p(0,1), что
(p,;(1- p),) P.
Можно выбрать такую вероятность p, что лотерея, состоящая в случайном выборе между наилучшей альтернативой и наихудшей альтернативой будет предпочтительней, чем промежуточная альтернатива .
Рис.1.3.2. Эквивалентные лотереи. |
Теорема 1.3.1. Если выполняются аксиомы 1-10, то существует линейная функция полезности для отношения P на A .
Доказательство громоздко, его можно найти в [1],[7].
В соответствие с аксиомами 1-10, лицо, принимающее решение, должно всегда выбрать альтернативу с максимальной ожидаемой полезностью (гипотеза ожидаемой полезности). Областью значений линейной функции полезности является выпуклое подмножество вещественной оси, то есть интервал. Эта функция определена с точностью до линейного преобразования.Для преобразования старых полезностей u() в новые полезности v() достаточно выбрать положительное вещественное число , а также произвольное вещественное число и положить
v()= u() + , A.
Не единственность функции u связана с отсутствием определения нулевой полезности, единицы полезности и шкалы измерения полезностей. Это свойство функции полезности не имеет принципиального значения: различие между двумя функциями определяется различием в положении нуля и единицы на шкале измерения, подобно различию между температурными шкалами Цельсия и Фаренгейта.
Вскоре после появления теории Неймана-Моргенштерна были получены экспериментальные данные о том, что предпочтения человека не всегда соответствуют нормам рационального поведения, т. е. опровергают аксиомы теории полезности, а следовательно и существование линейной функции полезности.
Пример 1.3.3.
- 1. Пусть для ЛПР получение подарка стоимостью 2 тыс. долл. (альтернатива ) предпочтительней, чем получение подарка стоимостью 1 тыс. долл. (альтернатива ) и обе альтернативы предпочтительней, чем потеря всего капитала, равного 1000 тыс. долл. (альтернатива ). Из аксиомы 10 следует, что ЛПР должен предпочесть лотерею, в которой с ненулевой вероятностью возможна потеря всего капитала, гарантированному исходу, при котором он сохраняет капитал и получает подарок стоимостью 1 тыс. долл.. Теоретически это может вызвать сомнение, но практически, кто из людей не рисковал жизнью перебегая дорогу перед близко идущим транспортом из-за несопоставимо малого выигрыша во времени?
- 2. Предположим теперь, что ЛПР сравнивает лотереи
= (p,;(1- p), ) и = (p,;(1- p), ),
где p – очень мало (близко к нулю). В каждой из лотерей вероятность потери всего капитала (1000 тыс. долл.) близка к 1, а вероятность получения подарка практически равна 0. Для ЛПР обе лотереи, скорее всего, будут равнозначны, что противоречит аксиоме 8.
Многочисленные экспериментальные данные свидетельствуют о неустойчивости системы индивидуальных предпочтений. Когда студентам были предложены четыре лотереи, позволяющие полностью воплощать типовую стратегию максимизации ожидаемой полезности, или стратегию минимизации риска, 5% испытуемых выбрало первый вариант, 45% – второй, 50% участников колебались от одной лотереи к другой [9].
Таблица 1.3.1.
Лотерея (I) | |||
Красный (1/100) | Белый (89/100) | Голубой (10/100) | |
Билет A | 1 млн. долл. | 1 млн. долл. | 1 млн. долл. |
Билет B | 0 долл. | 1 млн. долл. | 5 млн. долл. |
Лотерея (II) | |||
Красный (1/100) | Белый (89/100) | Голубой (10/100) | |
Билет C | 1 млн. долл. | 0 долл. | 1 млн. долл. |
Билет D | 0 долл. | 0 долл. | 5 млн. долл. |
Пример 1.3.4 (Парадокс Алле [10]). Имеется урна, содержащая 1 шар красного цвета, 89 белых шаров и 10 голубых шаров. Игроки, таким образом, точно знают о вероятностях тиража. Предлагаем игрокам принять участие в двух последовательных лотереях (I и II), и в каждой лотерее они должны выбрать между двумя различными билетами. В таблице 1.3.1 указаны выигрыши лотерей в зависимости от цвета шара и типа билета. При проведении эксперимента, большинство игроков предпочитает билет A в первой лотерее и билет D во второй. Анализ проблемы, установленной этими двумя лотереями, показывает две возможные стратегии. Либо мы пытаемся максимизировать потенциальные доходы (гипотеза ожидаемой полезности), чему соответствуют билеты B и D, либо пытаемся минимизировать риск, чему соответствуют билеты A и C. В действительности игроки меняют стратегию во время лотерей, доказывая, что их предпочтения при выборе между прибылью и риском неустойчивы.
Чтобы избежать парадоксов теории, в некоторых современных моделях рисковых ситуаций рассматриваются упрощенные функции полезности. Например, для описания поведения инвесторов используются нелинейные функции (степенные или экспоненциальные). Пусть f(d) – функция, аргументом которой является получаемый доход. Конкретный вид функции выбирается в зависимости от отношения инвестора к риску, связанному с получением дохода d. При несклонности инвестора к риску функция полезности может иметь вид:
f(d) = ; f(d) =; f(d) = , 0 < < 1, .
При стремлении инвестора к риску можно использовать функцию
f(d)= , .
Методики нахождения функций полезности, моделирующих поведение конкретных инвесторов (экспертов, ЛПР), можно найти в [11].
В настоящее время теория ожидаемой полезности является активно развивающейся отраслью экономической науки и, несмотря на парадоксы, используется во многих математических моделях выбора решений в условиях риска.
Упражнения.
Пусть A={,…}, P={(,), (,),(,),(,),(,),
(,),(,), (,)}.
Какие из функций, приведенных в таблице 1.3.2. являются порядковыми функциями полезности для отношения P на A?
Таблица 1.3.2.
u | -1 | -4 | -1 | ||
v | 100 | 50 | 100 | -100 | 50 |
w | 10 | 5 | 8 | 2 | 5 |
Определить порядковую функцию полезности для отношения
P={(,),(,), (,),(,),(,),(,), (,),(,)} на A={,…}.
Пусть потребитель определил, что набор товаров A предпочтительнее набора B, а набор B предпочтительнее набора C. Являются ли следующие функции
u(A)=3, u(B )=2, u(C)=1, v(A )=100, v(B )=99, v(C)=7
порядковыми функциями полезности, моделирующими предпочтения потребителя?
| Набор благ | U1(X) | U2(X) | U3(X) |
| X` X“ X“` X““ | 1 2 2 3 | 1 90 90 100 | 1 4 4 50 |
Из табл. 2 легко увидеть важнейшее различие между кардиналистским и ординалистским подходами. Функция порядковой полезности в противоположность количественной позволяет лишь судить о том, какой из наборов благ предпочтительнее, и отнюдь не дает возможности оценивать и сравнивать разницу в полезности наборов (насколько один набор предпочтительнее другого), что, кстати, и делает бессмысленным при ординалистском подходе понятие предельной полезности.
Вообще говоря, если U(X) – ординалистская функция полезности, а Т(U) – любая монотонно возрастающая функция, то функция вида
также является функцией полезности.
Как видим, по сравнению с кардиналистским ординалистский подход допускает значительно больший произвол в присвоении числовых значений различным полезностям: функция T(U) не обязательно должна быть линейной. Важно лишь, чтобы большим значениям ее аргумента соответствовали большие значения функции.
РАЗДЕЛ 3.
Основные предположения ординалистской теории полезности
До сих пор, говоря об ординалистском подходе, мы считали, что возможность упорядочения потребителем наборов благ по степени их предпочтения и существование функции порядковой полезности есть нечто само собой разумеющееся. На самом деле, однако, такое утверждение требует от нас принятия некоторых предположений аксиоматического характера о свойствах отношений предпочтения и безразличия, не выходящих, впрочем, за рамки простого здравого смысла.
I. Предположение о сравнимости. Потребитель способен сравнить любые два возможные набора благ и в результате этого сравнения приходит к одному (и только одному) из следующих трех возможных заключений:
или X` > X“ (набор X` предпочтительнее, чем набор X“);
или X` < X“ (набор X` менее предпочтителен, чем набор X“);
или X` ~ X“ (набор X` столь же предпочтителен, как и набор X“ – потребитель безразличен в выборе между и ).
Заметим, что мы не даем здесь какого-либо специального определения понятиям “предпочтение” и “безразличие”, считая, что смысл этих понятий достаточно ясен. Подчеркнем лишь, что безразличие в выборе ни в коем случае не означает “не могу сравнить”. Потребитель безразличен в выборе между двумя равно желаемыми наборами, имеющими одинаковый уровень полезности.
Предположение I в целом кажется вполне разумным и не противоречащим действительности. Конечно, вкусы, а значит, и предпочтения потребителей могут изменяться во времени, однако это вовсе не исключает однозначной определенности предпочтений в каждый конкретный момент времени. Экономистам же в конечном счете для построения теории спроса важно определить, как изменяется потребительский выбор при изменении экономических переменных (цены и дохода), а вовсе не при изменении потребительских вкусов.
II. Предположение о транзитивности отношений предпочтения и безразличия. Если потребитель предпочитает набор X` набору X“, а набор X“ набору X“`, то он предпочитает набор X` набору X“`, т. е.
если X` > X“ и X“ > X“`,
то X` > X“`.
Точно так же
если X` > X“ и X“ ~ X“`
или X` ~ X“ и X“ > X“`,
то X` > X“`,
а также
если X` ~ X“ и X“ ~ X“`,
то X` ~ X“`.
Вообще говоря, справедливость предположений I и II обеспечивает возможность упорядочения потребителем всего множества наборов благ и присвоения полезностям этих наборов численных значений.
III. Предположение о ненасыщаемости.Если набор X` содержит не меньшее количество единиц каждого блага, чем набор X“, то набор X` предпочтительнее или безразличен набору X“. Если же только набор X` содержит при этом больше единиц хотя бы одного блага, чем набор X“, то набор X` предпочтительнее набора X“.
Это предположение, соответствующее интуитивному представлению о том, что “больше – лучше, чем меньше”, охватывает практически все случаи, представляющие интерес для общей теории. Ситуации типа “больше некуда” встречаются редко; к тому же потребитель всегда может отказаться от дополнительного количества блага, если оно не увеличивает полезности.
Теперь, когда после всех сделанных выше предположений мы принимаем допущение о возможности упорядочения потребителем всего множества наборов благ с точки зрения их предпочтительности и существования порядковой функции полезности, мы могли бы в принципе вести дальнейший анализ с помощью математических методов, рассматривая задачу потребительского выбора как стандартную оптимизационную задачу максимизации функции полезности при некотором ограничении (задаваемом доходом потребителя и ценами благ). Однако, как мы не раз уже убеждались, применение графических методов исследования в экономике приводит к более наглядным результатам, причем более доступным путем (по крайней мере для читателя, не имеющего специальной математической подготовки). Попробуем представить систему предпочтений потребителя с помощью широко распространенного и играющего в экономике весьма важную роль инструментария кривых безразличия.
РАЗДЕЛ 4.
Кривые безразличия
Прежде всего, очевидно, нам необходимо создать некий графический образ пространства благ, чтобы обеспечить возможность графического изображения любого из возможных наборов благ. Заметим, что графические методы наряду со своими неоспоримыми достоинствами имеют и один весьма существенный недостаток: эти методы ограничивают исследователя двумерным пространством. Оказывается, однако, что основные выводы, полученные для случая двух благ, без труда могут быть распространены и на случай сколь угодно большого числа благ.
Именно последнее обстоятельство и дает нам возможность “пожертвовать” количеством благ с целью большей наглядности и доступности изложения.
Итак, пусть потребитель сталкивается только с двумя благами, Х и У. Тогда любая из возможных комбинаций благ (например, комбинация А, содержащая х, единиц блага Х и у1 единиц благ Y) может быть представлена в виде точки на графике (рис. 1), где по оси абсцисс откладывается количество единиц блага X, а по оси ординат – количество единиц блага Y.
Рис. 1 Пространство благ
Основная идея графического представления системы предпочтений (функции полезности) потребителя с помощью кривых безразличия (впервые примененных английским экономистом Ф. Эджуортом в 1881 г.) весьма проста: соединим все точки, характеризующие наборы благ, имеющие некоторый определенный уровень полезности (для потребителя но, какой их этих наборов выбирать), и назовем полученную линию равной полезности кривой безразличия. Повторим теперь то же самое с наборами благ, имеющими какой-либо иной уровень полезности. Проделав эту операцию со всеми возможными наборами благ, получим карту безразличия – множество кривых безразличия, соответствующих всем возможным уровням полезности для данного потребителя. Очевидно, карта безразличия есть не что иное, как графическое изображение шкалы предпочтений потребителя.
Рассмотрим теперь некоторые свойства кривых безразличия.
Свойство 1. Кривые безразличия имеют отрицательный наклон.
Попробуем определить, в какой области лежат точки, характеризующие комбинации благ, имеющие такой же уровень полезности, как и набор А (рис. 2). Для этого проведем параллельно осям координат две перпендикулярные прямые линии, пересекающиеся в точке А. Эти линии разделяют пространство благ на четыре квадранта. Очевидно, что в соответствии с предположением III ординалистской теории полезности (“больше – лучше, чем меньше”) любой набор благ из квадранта I предпочтительнее набора А. По этой же причине набор А предпочтительнее любого набора из квадранта III. Следовательно, все наборы благ, имеющие равный с набором А уровень полезности, должны лежать в квадрантах II и IV. Иными словами, кривая безразличия имеет отрицательный наклон. Это обстоятельство вполне понятно – ведь чтобы сохранить тот же общий уровень полезности набора при уменьшении потребления благ X, потребитель должен компенсировать это уменьшение увеличением потребления благ Y.
Рис. 2. Кривые безразличия имеют отрицательный наклон
Предположение III приводит нас к еще одному важному выводу: все точки, лежащие выше данной кривой безразличия, характеризуют наборы благ, имеющие более высокий уровень полезности, чем лежащие на этой кривой безразличия, а точки, лежащие ниже данной кривой безразличия, — наборы, имеющие более низкий уровень полезности. (Предоставим доказательство читателю).
Свойство 2. Две кривые безразличия не могут пересекаться.
Предположим, что две кривые безразличия пересекаются в точке А (рис. 3).
Рис. 3. Кривые безразличия не могут пересекаться
Тогда (по определению кривой безразличия) B ~ A, C ~ A.
Следовательно, по предположению II (транзитивности) должно быть B ~ C
Но это неверно. На самом деле (по предположению III) B > C.
Следовательно, две кривые безразличия не могут иметь общую точку, так как один набор благ не может характеризоваться двумя различными уровнями полезности.
Свойство 3. Кривая безразличия может быть проведена через каждую точку в пространстве благ (по предположению I о сравнимости). Таким образом, мы получаем множество кривых безразличия – карту безразличия (рис. 4), содержащую полную информацию о системе предпочтений потребителя.
Рис. 4. Карта безразличия
Обращаем внимание читателя, что мы до сих пор изображали кривые безразличия выпуклыми к началу координат, ничем не аргументируя принятие такой формы кривых безразличия. Заметим также, что выпуклость не может быть обоснована предположениями I-III ординалистской теории полезности, т. е. требует от нас некоторых дополнительных предположений.
Попробуем теперь объяснить, почему мы изображаем кривые безразличия выпуклыми к началу координат.
Пусть x1x2 = x3x4 (рис. 5). Тогда при переходе из точки А в точку В потребитель сохранил общую полезность набора благ при увеличении потребления блага Х на x1x2 единиц и уменьшении потребления блага Y на y1y2 единиц. При переходе из точки С в точку D потребитель сохранил общую полезность при увеличении потребления блага Х на x3x4 = x1x2 единиц и уменьшении потребления блага Y на y3y4 единиц; при этом y1y2 > y3y4.
Рис. 5. Уменьшение нормы замены при движении по кривой безразличия
Введем теперь понятие нормы замены. Нормой замены блага Y благом Х называется то количество блага Y, которое потребитель согласен уступить “в обмен” на увеличение количества блага Х на единицу с тем, чтобы общий уровень удовлетворения остался неизменным:
Из рис. 5 видно, что норма замены уменьшается при движении вдоль кривой безразличия, что, впрочем, вполне объяснимо логически: с увеличением количества блага Х и, соответственно, уменьшением количества блага Y потребитель все больше ценит ставшее относительно более дефицитным благо Y и, следовательно, готов отдать все меньшее количество единиц этого блага в обмен на каждую следующую единицу блага X.
При приближении точки В к точке А мы получаем предельную норму замены:
Очевидно, что предельная норма замены в этом случае равна угловому коэффициенту наклона касательной к кривой безразличия в точке А.
Таким образом, предположение о падении предельной нормы замены при движении вдоль кривой безразличия приводит нас к утверждению о выпуклости кривой безразличия: если верно первое, то верно и второе.
Итак, сформулируем еще одно свойство кривых безразличия.
Свойство 4. Предельная норма замены уменьшается при движении вдоль кривой безразличия. Кривые безразличия выпуклы к началу координат.
Строго говоря, это условие может иногда не соблюдаться. Рассмотрим два следующих случая: жесткая взаимодополняемость благ (правый и левый ботинок) и совершенная взаимозаменяемость (например, два сорта аспирина для потребителя, не видящего разницы между этими сортами).
Рис. 6. Жесткая взаимодополняемость
MRS = 0
На рис. 6 изображена кривая безразличия в случае жесткой взаимодополняемости, когда благ связаны в потреблении жестким соотношением и MRS = 0. На рис. 7 представлен случай совершенной взаимозаменяемости, когда оба блага воспринимаются потребителем как один, и MRS – постоянная величина.
Рис. 7. Совершенная взаимозаменяемость
MRS = const.
Все же мы считаем, что большинство реальных кривых безразличия лежит между этими двумя крайними случаями (при этом чем более взаимозаменяемы блага, тем менее выпуклы кривые безразличия), и четвертое свойство кривых безразличия справедливо.
Итак, карта безразличия – множество кривых безразличия (отвечающих свойствам 1-4) – дает нам полную информацию о системе предпочтений потребителя (не требуя даже присвоения полезностям наборов благ каких-либо численных значений).
РАЗДЕЛ 0.
У БАРБОСА ЕСТЬ ВОПРОСЫ.Как лучше истратить деньги?
БАРБОС. Да (мечтательно закатил глаза), у каждого свое представление о том, как лучше потратить деньги.
АНТОН. Игорь, посоветуй нашим читателям, как лучше потратить деньги.
ИГОРЬ. Мой жизненный опыт уже позволит мне дать несколько надежных советов. Например, никогда не соглашайся, Антон, спорить, что тебе удастся съесть за сто шагов сто граммов шоколада. Это верный проигрыш.
АНТОН. Уклоняешься от ответа?
ИГОРЬ. Правила для всех, конечно, есть, но каждый, кто тратит деньги, по-разному представляет свою выгоду.
АНТОН. Тогда какие же могут быть общие правила?
ИГОРЬ. Все довольно просто. Скажем, свой доход ты будешь тратить на 150 разных товаров и услуг. Тогда ты добьешься для себя максимального уровня удовлетворения, если по каждому из 150 товаров последний затрачиваемый на них рубль принесет тебе одинаковое удовлетворение.
АНТОН. Это все напоминает мне идеологию равновесия, когда у потребителя нет стимула изменять свое положение.
ИГОРЬ. Конечно, если только какой-то товар оказывается более “эффективным”, равновесие нарушается и становится выгодным именно этого товара купить побольше.
АНТОН. Но как только увеличивается его объем, снижается предельная полезность, а значит, и тратить следующий рубль на него менее полезно.
ИГОРЬ. Помнишь, Антон, как подробно во 2-й лекции мы с тобой обсуждали, как потребитель решает, сколько единиц товара ему купить?
АНТОН. Ну да, прекрасно помню, как наш потребитель “гулял” вдоль кривой предельной полезности, которая потом превратилась в кривую его спроса, Наиболее выгодное положение наш покупатель занимал, когда приобретал столько единиц блага, что предельная полезность оказывалась равной цене. Мы не говорили, но подразумевали, что так будет происходить и при покупке им одновременно нескольких видов благ.
БАРБОС. Вот именно, на одной овсянке не проживешь, надо и мясо, и витамины… Бабушка Антона читала вслух книгу о домашних животных, так там сказано о полноценном и разнообразном питании.
ИГОРЬ. Кажется, я догадываюсь, как ты хочешь объяснить правило покупки нескольких товаров, например, риса и молока. Нужно, чтобы предельная полезность риса, деленная на цену риса, была равна предельной полезности молока, деленной на цену молока.
АНТОН. Ты как всегда прав, Игорь!
ИГОРЬ. Для нас в данном случае важно, что при переходе от рассмотрения покупки одного вида благ (например, яблок) к их набору, например 150 видам товаров и услуг, мы сохраняем прежнюю логику рационального потребительского выбора.
АНТОН. А как быть с этой логикой при ординалистском подходе?
ИГОРЬ. Все опять сходится, Антон. Я даже уверен, что многие читатели ругают нас за слишком “разжеванное” объяснение.
АНТОН. Не знаю, не знаю. Наше дело объяснить понятно, а если кто и сам уже все понял, так честь ему и хвала. Пусть напишет нам, мы ему награду какую-нибудь выдадим.
БАРБОС. Понятно, медаль за сообразительность на ленточке.
ИГОРЬ. Так вот, если мы разбираем поведение потребителя на примере двух товаров, скажем риса и молока, то наиболее выгодное для него состояние наступит, как мы знаем, когда предельная полезность риса, деленная на цену риса, будет равна предельной полезности молока, деленной на его цену. А это условие будет выполняться в точке равновесия Е. Там углы наклона бюджетной линий (линии цен) и кривой безразличия совпадают.
АНТОН. Ну да, об этом написано в восьмой лекции.
ИГОРЬ. А как только потребитель попытается потратить деньги иначе, т.е. будет “уходить” от точки Е по бюджетной линии вправо или влево, так сразу же один из товаров окажется “эффективнее” другого, а кривая безразличия, на которую попадет наш покупатель, будет расположена ближе к началу координат.
АНТОН. Да, ловко ты все объяснил. Теперь читатель поищет в этой лекции подтверждение твоим словам.
БАРБОС. Справедливость – ремесло моего хозяина, и я стараюсь во всем подражать ему. Иногда меня мучает то, что я называю настроением. Я всегда боюсь, что под влиянием настроения я буду несправедлив или нерационален. А как ты, читатель, поступаешь, когда, например, весна, и солнце, и трава зеленая, и лаять хочется без причины?
РАЗДЕЛ 1.
Рекомендуемые страницы:
Читайте также: