Полезные формулы по геометрии для егэ
Формулы для профильного ЕГЭ-2021 по математике
Формулы сокращённого умножения
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Вероятность
Свойства степеней
Свойства логарифмов
Тригонометрия
Производные
Первообразные
Геометрия
Формулы сокращённого умножения
| `(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2` | |
| `(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2` | |
| `a^2 − b^2=(a + b)(a − b)` | |
| `a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)` | |
| `a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)` | |
| `(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3` | |
| `(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3` |
Прогрессии
Арифметическая прогрессия:
| `a_n=a_(n-1)+d` |
| `a_n=a_1+(n-1)*d` |
| `S_n=((a_1+a_n)*n)/2` |
Геометрическая прогрессия:
| `b_n=b_(n-1)*q` |
| `b_n=b_1*q^(n-1)` |
| `S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)` |
| Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)` |
Вероятность
| Вероятность события A: | `P(A)=m/n` | |
| События происходят A и B происходят одновременно | `A*B` | |
| Независимые события: | `P(A*B)=P(A)*P(B)` | |
| Зависимые события: | `P(A*B)=P(A)*P(B|A)` | |
| Происходит или событие A, или B | `A+B` | |
| Несовместные события: | `P(A+B)=P(A)+P(B)` | |
| Совместные события: | `P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)` |
Свойства степеней
| `a^0=1` | `a^1=a` |
| `a^(-1)=1/a` | `a^(-n)=1/a^n` |
| `a^(1/2)=sqrt(a)` | `a^(1/n)=root(n)(a)` |
| `a^m*a^n=a^(m+n)` | `a^m/a^n=a^(m-n)` |
| `(a*b)^n=a^n*b^n` | `(a/b)^n=a^n/b^n` |
| `(a^m)^n=a^(m*n)` | `a^(m/n)=root(n)(a^m)` |
Свойства логарифмов
| `log_ab=c“a^c=b` | |
| `log_a1=0` | |
| `log_aa=1` | |
| `log_a(b*c)=log_ab+log_ac` | |
| `log_a(b/c)=log_ab-log_ac` | |
| `log_ab^n=n*log_ab` | |
| `log_(a^m)b=1/m*log_ab` | |
| `log_ab=1/(log_ba)` | |
| `log_ab=(log_cb)/(log_ca)` | |
| `a^(log_cb)=b^(log_ca)` | |
| `a^(log_ab)=b` |
Тригонометрия
| `alpha` | `0` | `pi/6` | `pi/4` | `pi/3` | `pi/2` | `pi` | `(3pi)/2` | `2pi` |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| `0^circ` | `30^circ` | `45^circ` | `60^circ` | `90^circ` | `180^circ` | `270^circ` | `360^circ` | |
| `sinalpha` | `0` | `1/2` | `sqrt(2)/2` | `sqrt(3)/2` | `1` | `0` | `-1` | `0` |
| `cosalpha` | `1` | `sqrt(3)/2` | `sqrt(2)/2` | `1/2` | `0` | `-1` | `0` | `1` |
| `text(tg)alpha` | `0` | `sqrt(3)/3` | `1` | `sqrt(3)` | `infty` | `0` | `infty` | `0` |
| `text(ctg)alpha` | `infty` | `sqrt(3)` | `1` | `sqrt(3)/3` | `0` | `infty` | `0` | `infty` |
Основные соотношения
| `sin^2alpha+cos^2alpha=1` | |
| `text(tg)alpha=sinalpha/cosalpha=1/(text(ctg)^2alpha)` |
Формулы двойного угла
| `cos2alpha={(cos^2alpha-sin^2alpha),(1-2sin^2alpha),(2cos^2alpha-1):}` | |
| `sin2alpha=2sinalphacosalpha` | |
| `text(tg)2alpha=(2text(tg)alpha)/(1-text(tg)^2alpha)` |
Формулы суммы и разности аргументов
| `sin(alpha+-beta)=sinalphacosbeta+-cosalphasinbeta` |
| `cos(alpha+-beta)=cosalphacosbeta∓sinalphasinbeta` |
| `text(tg)(alpha+-beta)=(text(tg)alpha+-text(tg)beta)/(1∓text(tg)alpha*text(tg)beta)` |
Преобразование суммы и разности в произведение
| `sinalpha+-sinbeta=2sin((alpha+-beta)/2)cos((alpha∓beta)/2)` |
| `cosalpha+cosbeta=2cos((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)` |
| `cosalpha-cosbeta=-2sin((alpha+beta)/2)sin((alpha-beta)/2)` |
Формулы половинного аргумента
| `sin(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/2)` | |
| `cos(alpha/2)=+-sqrt((1+cosalpha)/2)` | |
| `text(tg)(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/(1+cosalpha))=(1-cosalpha)/sinalpha=sinalpha/(1+cosalpha)` |
Обратные тригонометрические функции
| `sinx=A` | `x=(-1)^k*arcsinA + pik` или `{(x=arcsinA + 2pik),(x=pi-arcsinA+2pik):}` | `kinZZ` |
| `cosx=A` | `x=±arccosA + 2pik` | `kinZZ` |
| `tg x=A` | `x=text(arctg) A + pik` | `kinZZ` |
| `ctg x=A` | `x=text(arcctg) A + pik` | `kinZZ` |
Также некоторые тригонометрические соотношения смотрите в разделе Геометрия.
Производные
Основные правила дифференцирования
| `(u+-v)’=u’+-v’` | |
| `(u*v)’=u’*v+u*v’` | |
| `(u/v)^’=(u’*v-u*v’)/v^2` | |
| `[f(g(x))]’=f'(g(x))*g'(x)` |
Уравнение касательной
| `y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)` |
Производные элементарных функций
| `C’=0` | `(C*x)’=C` | |
| `(x^m)’=mx^(m-1)` | `(sqrtx)’=1/(2sqrtx)` | |
| `(1/x)^’=-1/x^2` | ||
| `(e^x)’=e^x` | `(lnx)’=1/x` | |
| `(a^x)’=a^x*lna` | `(log_ax)’=1/(xlna)` | |
| `(sinx)’=cosx` | `(cosx)’=-sinx` | |
| `(text(tg)x)’=1/cos^2x` | `(text(ctg)x)’=-1/sin^2x` | |
| `(arcsinx)’=1/sqrt(1-x^2)` | `(arccosx)’=-1/sqrt(1-x^2)` | |
| `(text(arctg))=1/(1+x^2)’` | `(text(arcctg))’=-1/(1+x^2)` |
Также некоторые сведения про производные смотрите в описании задач
№14 (база), №7 (профиль), №12 (профиль).
Первообразные
| Первообразная: | `F'(x)=f(x)` | |||
| Неопределённый интеграл: | `intf(x)dx=F(x)+C` | |||
| Определённый интеграл (формула Ньютона-Лейбница): | `int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)` |  |
Таблица первообразных
| `f(x)` | `F(x)` | `f(x)` | `F(x)` | |
|---|---|---|---|---|
| `a` | `ax` | |||
| `x^n` | `x^(n+1)/(n+1)` | `1/x` | `lnx` | |
| `e^x` | `e^x` | `a^x` | `a^x/lna` | |
| `sinx` | `-cosx` | `cosx` | `sinx` | |
| `1/cos^2x` | `text(tg)x` | `1/sin^2x` | `-text(ctg)x` | |
| `1/(x^2+a^2)` | `1/atext(arctg)x/a` | `1/(x^2-a^2)` | `1/(2a)ln|(x-a)/(x+a)|` | |
| `1/sqrt(a^2-x^2)` | `text(arcsin)x/a` | `1/sqrt(x^2+a)` | `ln|x+sqrt(x^2+a)|` |
Геометрия
Планиметрия (2D)
Площади фигур:
| Окружность: | `S=pir^2` | |
| Треугольник: | `S=1/2ah` | |
| Параллелограмм: | `S=ah` | |
| Четырёхугольник: | `S=1/2d_1d_2sinvarphi` | |
| Трапеция: | `S=(a+b)/2*h` |
Стереометрия (3D)
| Призма: | `V=S_(осн)h` | |
| Пирамида: | `V=1/3S_(осн)h` | |
| Конус: | `V=1/3S_(осн)h` | |
| `S_(бок)=pirl` | ||
| Цилиндр: | `V=pir^2h` | |
| `S_(бок)=2pirh` | ||
| Шар: | `V=4/3pir^3` | |
| `S=4pir^2` |
Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.
Геометрия на профильном ЕГЭ — это три в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая 16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?
Начнем с планиметрии. Прежде всего, выучите основные формулы геометрии.
На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части 1.
Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.
Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.
Программа по геометрии.
1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).
2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника равны и сантиметров соответственно. Постройте треугольник с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике угол равен градусов, сторона равна двум, равна . Постройте треугольник .
в) В треугольнике сторона равна , угол равен , угол равен . Постройте треугольник .
3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.
4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.
5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.
6. Теорема о сумме углов треугольника.
7. Внешний угол треугольника.
8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) три биссектрисы.
в) три медианы.
9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.
10. Средняя линия треугольника и ее свойства.
11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
12. Определения синуса, косинуса и тангенса
— для острого угла прямоугольного треугольника
— для произвольного угла.
13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.
14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.
15. Виды параллелограммов и их свойства. (ромб, прямоугольник, квадрат).
16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.
17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.
18. Площадь треугольника. Формулы и .
19. Теоремы синусов и косинусов.
20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.
21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)
22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)
23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.
24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.
25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.
26. Теоремы о вписанных углах.
27. Теорема о пересекающихся хордах.
28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.
29. Теорема о секущей и касательной.
30. Дан треугольник . Постройте
а) окружность, вписанную в данный треугольник
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?
31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).
32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?
Программа по стереометрии
Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.
Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:
«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».
Анна Малкова
Полезные факты для решения задач ЕГЭ по геометрии (ЕГЭ по математике, Часть 2, профильный уровень).
Как научиться решать задачи ЕГЭ по геометрии (задача 16, Профильный уровень)?
Школьные учебники геометрии (Л. С. Атанасян, А. Г. Мерзляк…) неплохие. Даже лучше, чем по алгебре. Однако в них нет задач из вариантов ЕГЭ. Непонятно, как по ним готовиться к ЕГЭ, на что обращать внимание. Да и нет времени в 11-м классе заново читать учебник и решать все задачи подряд.
В освоении планиметрии важен правильный подход. Многие начинают с реальных задач ЕГЭ, а когда не получается, чувствуют разочарование. Не стоит так делать.
Первый этап: выучите теорию. Определения, теоремы, признаки. Основные формулы. Например, для площади треугольника нам нужны 5 формул. Помните их? Все они применяются в решении задач. Теоремы синусов и косинусов. Свойства высот, медиан и биссектрис. И многое другое.
В этом вам поможет Полный справочник Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ по математике. Именно то, что нужно для решения задач ЕГЭ. Ничего лишнего. А цветные картинки запоминаются сами собой.
И конечно, практика! Решаем задачи ЕГЭ. Сначала – Часть 1, задачи 3 и 6. Не меньше 50 задач первой части ЕГЭ по теме «Планиметрия» надо решить, чтобы выучить и уметь применять теоремы и формулы планиметрии.
Изучить планиметрию и потренироваться в решении задач можно на нашем Онлайн-курсе.
Задачи, решения, видеоразбор.
Отлично, освоили задачи по планиметрии 1 части Профильного ЕГЭ по математике. Пора переходить ко второй! К задаче 16. Но не будем спешить. Пункт (а) задачи 16 Профильного ЕГЭ по математике – доказательство. А вы знаете, что пункт (а) нужен не только для того, чтобы вы получили один из трех баллов за эту задачу? Что во многих задачах ЕГЭ №16 пункт (а) содержит идеи для решения пункта (б). Намеки на то, как решить задачу полностью. Надо научиться доказывать всевозможные утверждения планиметрии.
Мы публикуем для вас новый и ценный материал – доказательство полезных фактов. Это и повторение всего курса (7-9 класс), и «заготовки» для многих задач ЕГЭ.
Приведем список из 32 полезных фактов. Докажите их самостоятельно и проверьте решения по ссылкам.
Для большинства этих полезных фактов приведены примеры решения задач и первой, и второй части Профильного ЕГЭ по математике.
Углы, треугольники, четырехугольники
1. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
2. Свойство медианы прямоугольного треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма.
4. Площадь выпуклого четырехугольника
5. Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей
6. Свойства равнобедренной трапеции
7. Замечательное свойство трапеции.
8. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
9. Свойства биссектрис треугольника.
10. Свойства медиан треугольника
11. Свойство высот треугольника.
Окружности
12. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
13. Теорема о пересекающихся хордах.
14. Теорема о серединном перпендикуляре к хорде.
15. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
16. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
17. Угол между касательной и хордой.
18. Теорема о секущей и касательной.
19. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
20. Угол между двумя секущими (с вершиной вне окружности) равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
21. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, равен .
22. Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.
23. Если расстояние между центрами окружностей радиусами R и r равно а и , то отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно и
24. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов.
25. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
26. Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.
27. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то АМ = р – ВС, где р – полупериметр треугольника АВС.
28. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.
29. Если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K, L, M, а угол ВАС равен , то угол KLM .
30. Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на окружности S.
31. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна .
32. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
*При составлении списка полезных фактов использованы учебные пособия Р. К. Гордина.
Анна Малкова
На этой странице – всё, что необходимо для отличного освоения планиметрии и решения задачи 16 Профильного ЕГЭ по математике. В том числе – уникальные авторские материалы.
New: Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?
Знаете ли вы, что задание 16 Профильного ЕГЭ по математике в 2018 и 2019 годах было значительно проще, чем «параметры» или «экономическая» задача? Получается, те, кто не брался за планиметрию на ЕГЭ, добровольно отказались от трех первичных баллов, и кому-то не хватило их для поступления.
Да, мы знаем, что в школе планиметрией занимаются мало.
У нас даже статья есть о том, как там всё печально: Геометрия в школе: засада для абитуриента
Однако выучить геометрию и сдать ЕГЭ все равно надо. Как же это сделать: Вам поможет наша Программа по геометрии. Список необходимых фактов и теорем.
Учим определения, формулы и теоремы. Вспоминаем, что такое синус и что такое косинус острого угла в прямоугольном треугольнике. Учим определения и свойства биссектрисы, медианы и высоты треугольника. И 5 (да, 5) формул площади треугольника.
В общем, всё, что необходимо для решения заданий №3 и №6 первой части Профильного ЕГЭ по математике. До второй части и задачи 16 мы тоже дойдем!
Кратко – в нашем Справочнике.
Подробно – здесь:
Геометрия. Формулы площадей фигур
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла
Высота в прямоугольном треугольнике
Сумма углов треугольника
Углы при параллельных прямых и секущей
Высоты, медианы, биссектрисы треугольника
Четырёхугольники
Параллелограмм
Прямоугольник
Ромб
Квадрат
Трапеция
Окружность. Центральный и вписанный угол
Касательная к окружности
Вписанные и описанные треугольники. Теорема синусов
Вписанные и описанные четырёхугольники
Правильный треугольник
Правильный шестиугольник
Обратите внимание на тему «Векторы»:
Векторы на ЕГЭ по математике
Задание 16 из второй части ЕГЭ состоит из пунктов (а) и (б). Пункт (а) – это доказательство. Как правило, доказать нужно не самый тривиальный факт, и нужно уметь это делать.
Вам помогут «домашние заготовки» – наши Полезные факты для решения задач по планиметрии (с доказательствами)
Докажите их все и проверьте, что у вас получилось. После этого вы сможете доказать любое утверждение, которое вам может встретиться на ЕГЭ в задаче 16.
Но это не всё. Знаете ли вы, что многие задачи 16 Профильного ЕГЭ строятся по одной из так называемых классических схем? И эти Классические схемы для решения задач по планиметрии (с доказательствами) надо знать.
А для тех, кому скучно на уроке, – два геометрических парадокса. Готовы ли вы поверить, что прямой угол равен тупому? И что катет равен гипотенузе? Попробуйте найти ошибку в этих «доказательствах».
Геометрический парадокс: Прямой угол равен тупому
Геометрический парадокс: Катет равен гипотенузе
Как оформить решение задачи №16 (планиметрия)? Смотри образец решения и оформления!
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 2, задача 16
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 4, задача 16
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 16
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 16
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 12, задача 16
Задача на доказательство. Планиметрия.
И несколько полезных советов:
1) Задачи ЕГЭ по планиметрии решаются без сложных формул. Все необходимые факты, определения и теоремы – на этой странице.
2) Часто пункт (а) задачи 16 Профильного ЕГЭ содержит подсказку для решения пункта (б).
3) Обратите внимание на теорему о секущей и касательной, а также на свойство биссектрисы. Их трудно найти в учебнике. А в задачах ЕГЭ они применяются постоянно.
4) Старшеклассники очень любят теорему Фалеса. Но на самом деле применяется она очень редко. Намного чаще применяются три признака подобия треугольников.
– По двум углам,
– По углу и двум прилежащим к нему сторонам,
– По трем пропорциональным сторонам.
5) Самое важное – правильная методика подготовки. Не нужно начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – теория. Затем – доказательство полезных фактов и классических схем. И только после этого – задачи №16 Профильного ЕГЭ.
Êëèêíèòå, ÷òîáû äîáàâèòü â èçáðàííûå ñåðâèñû.
Êëèêíèòå, ÷òîáû óäàëèòü èç èçáðàííûõ ñåðâèñîâ.
ãåîìåòðèÿ. Îñíîâíûå ôîðìóëû ïëàíèìåòðèè
| 1. Ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê (äëèíû ñòîðîí, ëåæàùèõ ïðîòèâ âåðøèí A, B è C, ðàâíû a, b, c ñîîòâåòñòâåííî; a , b , g – âåëè÷èíû óãëîâ A, B è C; p – ïîëóïåðèìåòð; R – ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè; r – ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè; S – ïëîùàäü; hA – âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû A): , , , , ; a2=b2+c2-2 b c cosa – òåîðåìà êîñèíóñîâ; – òåîðåìà ñèíóñîâ. | |
| 2. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê (a, b – êàòåòû; c – ãèïîòåíóçà; ac, bc – ïðîåêöèè êàòåòîâ íà ãèïîòåíóçó): , , , , a2+b2=c2 – òåîðåìà Ïèôàãîðà. ; ; ; . | |
| 3. Ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê: , , . | |
| 4. Ïðîèçâîëüíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê (d1 è d2 – äèàãîíàëè; j – óãîë ìåæäó íèìè; S – ïëîùàäü): . | |
| 5. Ïàðàëëåëîãðàìì (a è b – ñìåæíûå ñòîðîíû; a – óãîë ìåæäó íèìè; ha – âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ñòîðîíå a): . | |
| 6. Ðîìá: . | |
| 7. Ïðÿìîóãîëüíèê: ; d1=d2. | |
| 8. Êâàäðàò (d – äèàãîíàëü): . | |
| 9. Òðàïåöèÿ (a è b – îñíîâàíèÿ; h – ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè; l – ñðåäíÿÿ ëèíèÿ): ; . | |
| 10. Îïèñàííûé ìíîãîóãîëüíèê (p – ïåðèìåòð; r – ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè): S=pr. | |
| 11. Ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê (an – ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà; R – ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè; r – ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè): ; . | |
| 12. Îêðóæíîñòü, êðóã (r – ðàäèóñ; c – äëèíà îêðóæíîñòè; S – ïëîùàäü êðóãà): c=2pr; S= pr2. | |
| 13. Ñåêòîð (l – äëèíà äóãè, îãðàíè÷èâàþùåé ñåêòîð; no – ãðàäóñíàÿ ìåðà ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîãî óãëà; a – ðàäèàííàÿ ìåðà öåíòðàëüíîãî óãëà): ; . |
Ðàññ÷èòàòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è äðóãèå ôîðìóëû âû ìîæåòå íà íàøåì èíæåíåðíîì êàëüêóëÿòîðå îíëàéí
Äîïîëíèòåëüíûå ìàòåðèàëû ïî òåìå: Îñíîâíûå ôîðìóëû ïëàíèìåòðèè
|
| ||||||||||||
| |||||||||||||
|
| ||||||||||||