Полезно решать одну задачу разными способами

В педагогической и методической литературе общепринятым является мнение, что решение задач разными способами является эффективным педагогическим приемом, поскольку это способствует повышению уровня математических знаний и умений учащихся, развитию их исследовательских способностей, пробуждает творческую фантазию и интерес к изучению математики.

Однако, если данный прием применять бессистемно и неорганизованно, решая каждый раз, когда это возможно, задачи разными способами, то это может привести и к обратному результату: потере у учащихся интереса к изучаемому, неосознанности выполняемых ими действий, бесполезной трате времени. Перед тем, как предложить учащимся какую-либо задачу, учитель должен досконально изучить ее сам: установить возможные связи с другими задачами, отыскать различные способы решения и выявить целесообразность рассмотрения этих способов для конкретной педагогической ситуации.

На одну задачу, решаемую разными способами, можно смотреть как на своеобразную систему, удовлетворяющую всем предъявляемым к ней требованиям. Такие системы задач в зависимости от типа или этапа урока, специфики рассматриваемых способов решения позволяют добиться различных целей при условии правильной организации работы с ними.

Выделим основные цели решения одной задачи разными способами или методами.

1. Выявление межпредметных связей: алгебра – геометрия, тригонометрия – геометрия и др.

2. Обобщение и систематизация полученных знаний, установление взаимосвязей между различными теоретическими фактами.

3. Выявление сущности определенных методов, их отличительных черт, достоинств и недостатков при применении к конкретным классам задач.

4. Вооружение учащихся различными методами решения задач с целью обретения ими уверенности в своих силах, возможности в случае затруднения перейти к другому приему решения.

5. Демонстрация рациональности, эффективности и изящества одних и нерациональности и порою ошибочности других способов.

6. Показ учащимся одного из приема самоконтроля.

В соответствии с выделенными целями определяются целесообразность и место данных систем задач в учебном процессе, разрабатывается методика их применения и решения.

Рассмотрим на конкретных примерах, как решение одной задачи разными способами или методами может помочь в осуществлении каждой из перечисленных целей.

Выявление межпредметных связей способствует осознанному усвоению учащимися материала, убеждению их в силе математических методов, которые могут быть использованы в разных областях знаний. Поэтому имеет смысл проводить интегрированные уроки, например, алгебры и геометрии.

Пример 1. Вычислите .

Способ 1 (алгебраический).

Пусть – это какой-то угол α первой четверти. Тогда задача заключается в нахождении , если известно, что .

Воспользуемся формулой понижения степени:

= .

Вычисляя , получим .

Способ 2 (геометрический).

Воспользуемся понятиями синуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, теоремой Пифагора и свойством биссектрисы треугольника.

Важно также сопоставлять арифметический и алгебраический способы решения одной и той же задачи.

Известно, что задачи на концентрацию вызывают значительные затруднения у учащихся. Если же показать им некоторые арифметические способы их решения, то это поможет учащимся осознать основные идеи, используемые при решении задач данного вида.

Пример 2. Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля, а второй 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 т стали с содержанием никеля 25%?

Способ 1 (алгебраический).

Пусть первого сорта нужно взять х тонн, а второго у тонн. Тогда в стали первого сорта содержится 0,1х тонн никеля, а в стали второго сорта 0,3у тонн никеля. Поскольку в новом сплаве никеля стало 25%, т.е. 0,25·200 = 50 т, то получим следующую систему уравнений:

Из этой системы находим, что х=50, а у=150. Значит, стали второго сорта нужно взять на 100 тонн больше.

Способ 2 (арифметический).

Найдем разность между процентным содержанием никеля в каждом из двух сортов стали и полученном сплаве:

25% – 10% = 15%, 30% – 25% = 5%.

Полученные результаты показывают, что 10%-ного сплава следует взять 5 частей, а 30%-ного – 15 частей. Отсюда легко находится, что нужно взять 50 тонн стали первого сорта и 150 тонн стали второго сорта.

Таким образом, получаем более простой и изящный способ решения задачи, который может применяться при решении подобных задач.

При обобщении и систематизации знаний решение задач разными способами позволяет охватить большой теоретический материал, установить связи между изучаемыми понятиями и фактами.

Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 10 и боковой стороной 13.

Способ 2 (использование понятия синуса острого угла прямоугольного треугольника).

Из треугольника ВСН находим . Затем из треугольника ВКО имеем ОК = ВО· , т.е. , .

Способ 3 (использование свойства отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).

Согласно указанному свойству, СН = СК = 5. Значит, ВК = 13 – 5 = 8.

ВО = 12 – r.

Из треугольника ВКО по теореме Пифагора имеем:

, .

Способ 4 (использование формулы S=pr).

, а . Следовательно, .

Для достижения третьей цели, т.е. выявления сущности отдельных методов необходима их демонстрация на какой-либо одной задаче. Обычно разные методы демонстрируют на разных задачах, учитывая при этом, какой из них в каждом конкретном случае более эффективен. При таком подходе метод может невольно связаться с самой задачей, а его сущность и значимость остается на втором плане. Когда же разные методы испробованы на одной задаче, то у учащихся появляется возможность оценить их, сравнить, уяснить их особенности. Рассмотрим пример, когда к геометрической задаче применяется векторный, координатный и собственно геометрический методы решения.

Пример 4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна ее половине.

Метод 1 (векторный).

Возведем обе части этого равенства в квадрат: . Поскольку векторы и перпендикулярны, то . Отсюда получаем равенство: , которое является верным.

Таким образом, , т.е. .

Метод 2 (координатный).

Примем точку А за начало прямоугольной системы координат, а стороны АВ и АС поместим на координатных осях.

Чтобы учащиеся были уверены в своих силах при решении задач и могли переходить от одного приема к другому, необходимо уже при объяснении нового материала рассматривать несколько способов получения верного результата.

Пример 5. Решите уравнение: .

Способ 1 (аналитический).

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

При решении этой совокупности получаем корни: и .

Способ 2 (замена переменной).

Применяя свойство модуля , перепишем уравнение в следующем виде: . Сделаем замену: , Получим уравнение: , откуда , . Имеем: , т.е. .

Способ 3 (функциональный).

Функция является четной. Тогда решим уравнение для . Получим . И возьмем корень, ему симметричный: .

Получаем: и .

Для достижения пятой цели необходимо подбирать такие задачи, способы решения которых значительно отличаются в плане их эффективности и рациональности, либо задачи, позволяющие выявить некорректность отдельного способа с целью получения важных теоретических выводов.

Пример 6. Решите уравнение: .

Если предложить учащимся самостоятельно решить данное уравнение, то они могут воспользоваться различными преобразованиями /1/.

Способ 1.

, , , .

Откуда или .

Способ 2.

, , , .

Получаем, что

Способ 3.

, , .Ответ. .

Если в каждом из трех способов решения сделать проверку, то получим, что и являются посторонними корнями. Таким образом, используя первый и второй способ, получили корень , а при решении третьим способом этот корень «исчез». Это произошло вследствие преобразований, сужающих ОДЗ уравнения. Данный пример наглядно показывает, какую опасность таят в себе такие преобразования, и может послужить началом разговора об источниках появления посторонних корней и потери корней.

Итак, мы рассмотрели несколько примеров решения задач разными способами. Еще раз обратим внимание на то, что их специфика зависит от целей, поставленных учителем. Теперь обратимся к методике использования таких систем задач на уроках математики. Очевидно, что особенности методики также связаны с целями решения одной задачи разными способами.

Для достижения первой цели, т.е. выявления межпредметных связей, необходимо на первых порах проводить интегрированные уроки. На таких уроках рассматриваются две-три задачи, решаемые разными способами. При этом не следует перед учащимися просто ставить проблему отыскания нескольких способов решения. Нужно четко указать им, что данная задача имеет несколько приемов решения (например, алгебраический и геометрический), а затем подробно остановиться на каждом из них. Если у учащихся возникают трудности, то учитель может наводящими вопросами подвести их к идее решения.

В дальнейшем, когда у учащихся сформируется определенный навык перехода от одной области знаний к другой, можно отказаться от интегрированных уроков. Выявление межпредметных связей следует проводить на обычном уроке, предлагая учащимся самостоятельно найти несколько способов решения одной задачи.

При обобщении и систематизации знаний помощь учителя в отыскании разных способов решения одной задачи должна быть минимальной. Необходимо четко поставить перед учащимися цель: решить задачу двумя, тремя, четырьмя и т.д. способами. Работа может проходить самостоятельно или в группах.

При самостоятельной работе учащимся дается определенное время на решение задачи, после чего, каждый из них сообщает, сколько способов ее решения им было найдено. Затем к доске вызывается любой из учащихся, нашедших только один способ решения задачи, и демонстрирует его. После этого учитель выясняет, кто еще из учащихся «увидел» этот способ, и вызывает к доске следующего учащегося для показа другого способа и т.д.

Примерно так же может быть построена работа в группах. Каждая группа ищет как можно больше способов решения какой-либо задачи, после чего подводятся итоги, и происходит демонстрация способов. В классах с невысоким уровнем подготовки учитель каждой группе может дать задание решить задачу каким-то конкретным способом. Затем представители групп показывают свои способы решения, происходит обсуждение их достоинств и недостатков.

Если поставлена цель ознакомить учащихся с различными методами решения задач, то на первых порах самостоятельность учащихся минимальна. Сначала учитель показывает сущность основных методов, приводит различные примеры. Следующим важным шагом является демонстрация применения различных методов при решении одной и той же задачи. Это позволит учащимся сопоставить изученные методы, провести их сравнительную характеристику, выявить преимущества того или иного методы при решении определенных задач.

Когда учащиеся в достаточной мере овладеют различными методами решения задач, необходимо увеличить степень их самостоятельности. Учащиеся должны при минимальной помощи учителя уметь применять разные методы к решению одной задачи, делать выводы о целесообразности их использования в каждом конкретном случае, грамотно аргументировать свою позицию.

Для достижения четвертой цели учителю необходимо уже при объяснении нового материала вводить различные способы решения одного и того же типа задач (например, аналитический и графический способы решения уравнений с параметром).

В классах с высоким уровнем подготовки учащиеся могут принимать непосредственное участие в поиске таких способов. В классах с невысоким уровнем подготовки учитель сам демонстрирует разные способы решения какого-то вида задач. И в том, и в другом случае необходимо, чтобы учащиеся проанализировали и сопоставили возможные способы, выявили их достоинства и недостатки. Полезно предлагать учащимся задания по предварительному выбору способа решения той или иной задачи в зависимости от ее содержания.

В случае, когда необходимо выявить рациональность и правильность отдельных способов решения задачи, учащимся дается самостоятельное задание по поиску этих способов. Такая работа с одной стороны развивает исследовательские способности учащихся, а с другой – позволяет осознать ошибочность каких-либо действий.

Так при решении логарифмического уравнения (пример 6) и разборе возможных способов используемых преобразований, учитель может организовать дискуссию, в процессе которой поднимаются вопросы о равносильности уравнений и тождественных преобразованиях, нарушающих ОДЗ уравнения. Такой прием будет гораздо более эффективным, чем просто озвучивание учителем этих вопросов. Знания, полученные учащимися при такой работе, станут осознанными и прочными.

Таким образом, методика использования педагогического приема решения одной задачи разными способами в значительной степени зависит от поставленных целей.

Вопросы и задания

1. В чем выражается эффективность использования такого педагогического приема как решение одной задачи разными способами?

2. С какими целями можно связать решение одной задачи разными способами?

3. В чем выражается сущность каждой из этих целей?

4. Каковы характерные особенности методики использования приема решения одной задачи разными способами?

5. В каких случаях учащиеся принимают активное участие в поиске различных способов решения задачи?

6. Решите задачи разными способами:

1) В равнобедренном треугольнике АВС АВ=6, АС=ВС=5. Найдите радиус описанной окружности.

2) В равнобедренном треугольнике АВС АВ=16, АС=ВС=10. Найдите длину медианы АМ.

3) В треугольник АВС вписана окружность, которая точкой касания делит сторону ВС на отрезки, длиной 5 и 9 см. Найдите радиус окружности, если .

4) Решите уравнение: .

7. Приведите пример решения одной задачи разными способами при выявлении межпредметных связей: алгебра-геометрия, тригонометрия-геометрия.

8. Определите, какой цели соответствует решение уравнения четырьмя способами: возведением обеих частей уравнения в квадрат, введением вспомогательного аргумента, методом универсальной подстановки, разложением на множители. Отыщите эти способы и опишите методику использования полученной системы задач.

9. Подберите любое уравнение с параметром, которое решается несколькими способами. Опишите методику использования полученной системы задач.

10. Решите задачи к любому параграфу учебника «Геометрия 7-9» под ред. Л.С. Атанасяна и выделите те из них которые решаются разными способами. Рассмотрите эти способы.

Рассмотреть различные способы доказательства свойства биссектрисы треугольника в статье Амелькиной Г. Несколько решений одной задачи. Свойство биссектрисы треугольника. / Газета «Первое сентября. Математика», 2005. – № 1. – с.18-24.

11. Составьте библиографию статей по теме за последние 20 лет в журнале «Математика в школе», газете «Первое сентября. Математика».