Полезная мощность выделяемая во внешней цепи
ЗАКОН ОМА ДЛЯ ПОЛНОЙ ЦЕПИ:
, (1)
I- сила тока в цепи; Е- электродвижущая сила источника тока, включённого в цепь; R- сопротивление внешней цепи; r- внутреннее сопротивление источника тока.
МОЩНОСТЬ, ВЫДЕЛЯЕМАЯ ВО ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ
. (2)
Из формулы (2) видно, что при коротком замыкании цепи (R®0) и при R®эта мощность равна нулю. При всех других конечных значениях Rмощность Р1> 0. Следовательно, функция Р1 имеет максимум. Значение R0, соответствующее максимальной мощности, можно получить, дифференцируя Р1 по R и приравнивая первую производную к нулю:
. (3)
Из формулы (3), с учётом того, что R и r всегда положительны, а Е ? 0, после несложных алгебраических преобразований получим:
R0 = r. (4)
Следовательно, мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает наибольшего значения при сопротивлении внешней цепи равном внутреннему сопротивлению источника тока.
При этом сила тока в цепи (5)
равна половине тока короткого замыкания. При этом мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает своего максимального значения, равного
. (6)
Когда источник замкнут на внешнее сопротивление, то ток протекает и внутри источника и при этом на внутреннем сопротивлении источника выделяется некоторое количество тепла. Мощность, затрачиваемая на выделение этого тепла равна
. (7)
Следовательно, полная мощность, выделяемая во всей цепи , определится формулой
= I2(R+r) = IE (8)
КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ
КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ источника тока равен . (9)
Из формулы (8) следует, что
, (10)
т.е. Р1 изменяется с изменением силы тока в цепи по параболическому закону и принимает нулевые значения при I = 0 и при . Первое значение соответствует разомкнутой цепи ( R>> r ), второе – короткому замыканию ( R<< r). Зависимость к.п.д. от силы тока в цепи с учётом формул (8), (9), (10) примет вид
(11)
Таким образом, к.п.д. достигает наибольшего значения h =1 в случае разомкнутой цепи ( I = 0), а затем уменьшается по линейному закону, обращаясь в нуль при коротком замыкании.
Зависимость мощностей Р1, Рполн = EI и к.п.д. источника тока от силы тока в цепи показаны на рис.1.
Рис.1. I0 E/r
Из графиков видно, что получить одновременно полезную мощность и к.п.д. невозможно. Когда мощность, выделяемая на внешнем участке цепи Р1, достигает наибольшего значения, к.п.д. в этот момент равен 50%.
МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ
Рис. 2.
Соберите на экране цепь, показанную на рис. 2. Для этого сначала щелкните левой кнопкой мыши над кнопкой э.д.с. в нижней части экрана. Переместите маркер мыши на рабочую часть экрана, где расположены точки. Щелкните левой кнопкой мыши в рабочей части экрана, где будет расположен источник э.д.с.
Разместите далее последовательно с источником резистор, изображающий его внутреннее сопротивление (нажав предварительно кнопку в нижней части экрана) и амперметр (кнопка там же). Затем расположите аналогичным образом резисторы нагрузки и вольтметр , измеряющий напряжение на нагрузке.
Подключите соединительные провода. Для этого нажмите кнопку провода внизу экрана, после чего переместите маркер мыши в рабочую зону схемы. Щелкайте левой кнопкой мыши в местах рабочей зоны экрана, где должны находиться соединительные провода.
4. Установите значения параметров для каждого элемента. Для этого щелкните левой кнопкой мыши на кнопке со стрелкой . Затем щелкните на данном элементе. Подведите маркер мыши к движку появившегося регулятора, нажмите на левую кнопку мыши и, удерживая ее в нажатом состоянии, меняйте величину параметра и установите числовое значение, обозначенное в таблице 1 для вашего варианта.
Таблица 1. Исходные параметры электрической цепи
Номер варианта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Е, В | 10,0 | 9,5 | 9,0 | 8,5 | 8,0 | 8,5 | 9,0 | 9,5 |
r, Ом | 4,8 | 5,7 | 6,6 | 7,5 | 6,4 | 7,3 | 8,2 | 9,1 |
5. Установите сопротивление внешней цепи 2 Ом, нажмите кнопку «Счёт» и запишите показания электроизмерительных приборов в соответствующие строки таблицы 2.
6. Последовательно увеличивайте с помощью движка регулятора сопротивление внешней цепи на 0,5 Ом от 2 Ом до 20 Ом и, нажимая кнопку «Счёт», записывайте показания электроизмерительных приборов в таблицу 2.
7. Вычислите по формулам (2), (7), (8), (9) Р1, Р2, Рполн и h для каждой пары показаний вольтметра и амперметра и запишите рассчитанные значения в табл.2.
8. Постройте на одном листе миллиметровой бумаге графики зависимости P1 = f(R), P2 = f(R), Pполн=f(R), h = f (R) и U = f(R).
9. Рассчитайте погрешности измерений и сделайте выводы по результатам проведённых опытов.
Таблица 2. Результаты измерений и расчётов
R, Ом | 2,0 | 2,5 | 3,0 | … | 20 |
U, В | |||||
I, А | |||||
P1, Вт | |||||
P2, ВТ | |||||
Pполн, ВТ | |||||
h |
Вопросы и задания для самоконтроля
- Запишите закон Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах.
- Что такое ток короткого замыкания?
- Что такое полная мощность?
- Как вычисляется к.п.д. источника тока?
- Докажите, что наибольшая полезная мощность выделяется при равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений цепи.
- Верно ли утверждение, что мощность, выделяемая во внутренней части цепи, постоянна для данного источника?
- К зажимам батарейки карманного фонаря присоединили вольтметр, который показал 3,5 В.
- Затем вольтметр отсоединили и на его место подключили лампу, на цоколе которой было написано: Р=30 Вт, U=3,5 В. Лампа не горела.
- Объясните явление.
- При поочерёдном замыкании аккумулятора на сопротивления R1 и R2 в них за одно и то же время выделилось равное количество тепла. Определите внутреннее сопротивление аккумулятора.
Пишу для школьников (для лучшего понимания ими основ физики). Материал излагаю в соответствии с признанной ныне научной трактовкой физических явлений. Критике существующей теории и глубоким теоретическим рассуждениям здесь не место.
На рисунке изображена замкнутая электрическая цепь, состоящая из источника постоянного тока и переменной нагрузки во внешней части цепи.
Источником постоянного тока может быть электрическая машина, о которой говорится в статье “Искровой разряд”; батарея гальванических элементов, аккумулятор и др.
Роль источника тока заключается в создании (генерировании) электрической энергии: в разделении положительных и отрицательных зарядов; в создании и поддерживании разности потенциалов между конечными точками цепи, в которую включена нагрузка (электрическая лампочка, электроплитка. электродвигатель и т. д.).
При прохождении тока через нагрузку электрическая энергия превращается в другие виды энергии :тепловую (в электроплитке); в тепло и свет (в электрической лампе); в механическую энергию (в электродвигателе).
Превращение энергии из одного вида в другой всегда связано с работой.
При прохождении тока по проводнику совершается работа, её совершают электрические силы (или электрическое поле). Кратко эту работу называют работой тока.
Рассматривая участок цепи, по которому проходит ток, получим следующее выражение для работы тока:
Работа тока равна произведению напряжения между концами участка на протекающий ток и время его протекания.
В случае, если участок цепи однородный (не содержит источника тока), то
тогда получим ещё две формулы для работы тока:
Если ток проходит через неподвижный проводник, то единственным результатом работы тока является его нагревание. Тогда количество выделившейся теплоты
Это запись закона Джоуля – Ленца.
Если кроме нагревания ток совершает ещё механическую работу, например, приводя в действие электродвигатель (мотор), то работа
лишь частично переходит в тепло.
В этом случае работа тока больше количества выделившейся теплоты, но закон Джоуля – Ленца выполняется.
Работа, совершаемая током в единицу времени, называется мощностью тока:
Единицей мощности тока является 1 Вт:
1 Вт – мощность выделяемая током 1 А в проводнике, между концами которого поддерживается напряжение 1 В.
Основная формула мощности для участка цепи:
Мощность постоянного тока на любом участке цепи выражается произведением силы тока на напряжение между концами участка цепи.
Так как для однородного участка цепи
то мощность можно найти ещё по формулам:
Обычно говорят не о работе, а о потребляемой из сети некоторым прибором (электроплитка, лампочки и др.) или двигателем (мотором) мощности электрического тока. Говоря о мощности (например, электродвигателя), отмечают, что работа двигателя совершается за счёт тока.
На приборах часто отмечается потребляемая ими мощность – мощность, необходимая для нормальной работы этого прибора.
Согласно закону сохранения энергии, для замкнутой электрической цепи можно записать:
Здесь
есть полная или затраченная работа, совершаемая сторонними силами, существующими внутри источника, по переносу заряда по цепи.
В гальваническом элементе такими силами являются силы химической реакции.
– это полезная работа, совершаемая электрическим полем при прохождении тока через нагрузку;
это работа, совершаемая внутри источника, по преодолению его внутреннего сопротивления.
Так как работа, совершённая за единицу времени, есть мощность, то из уравнения (1) получим выражение для мощности:
Здесь
есть полная или затраченная мощность, это мощность развиваемая источником тока.
это мощность выделяемая внутри источника тока
это полезная мощность, создаваемая во внешней части цепи (на нагрузке).
Здесь U – напряжение на зажимах источника при замкнутой цепи (при разомкнутой цепи оно равно ЭДС источника).
Так как для однородного участка цепи напряжение равно произведению тока на сопротивление, то полезную мощность можно найти ещё по следующей формуле:
Ток в замкнутой цепи
тогда формулу для полезной мощности можно записать так:
Проанализируем зависимость полезной мощности от сопротивления нагрузки.
При коротком замыкании вся развиваемая источником мощность выделяется на его внутреннем сопротивлении в виде теплоты.
Таким образом, полезная мощность, развиваемая во внешней цепи, достигает максимального значения тогда, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника.
На следующем рисунке показан график зависимости полезной мощности от сопротивления нагрузки.
Получена формула для нахождения максимальной полезной мощности
При этом ток в цепи в два раза меньше тока короткого замыкания:
Но чему при этом будет равно КПД источника?
Коэффициент полезного действия (КПД) источника показывает, какая часть затраченной (полной) работы источника пошла на пользу или КПД есть отношение полезной работы к затраченной:
Получается, что если добиваться максимальной мощности во внешней цепи, то получим КПД работы всего 50%, то есть половина затраченной мощности источника расходуется бесполезно – переходит в тепло, нагревая источник тока.
Выгоднее брать сопротивление нагрузки больше внутреннего сопротивления источника. Тогда ток в цепи уменьшится, а КПД источника увеличится.
Подумайте над решением следующих задач.
1. ЭДС аккумулятора 2 В, его внутреннее сопротивление 0,4 Ом, сопротивление внешней цепи 1 Ом. Найти разность потенциалов на зажимах аккумулятора и КПД его работы. Ответ: 1,43 В; 71 %.
2. Какую максимальную полезную мощность может выделить аккумулятор с ЭДС 10 В и внутренним сопротивлением 1 Ом? Каково при этом сопротивление внешней цепи? Ответ: 25 Вт; 1 Ом.
3. КПД источника тока, замкнутого на внешнее сопротивление R, равно 60%. Каков будет КПД источника, если внешнее сопротивление увеличить в 6 раз? Ответ: 90%.
Ответ: 7,7 Вт; 12 Вт; 40%; 25%.
Ответ: 2,7 10 4 кг.
К.В. Рулёва
Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Сообщите друзьям о существовании этого канала.
Предыдущая запись: Решение задач на мощность тока.
Следующая запись: Ещё раз о зарядке и разрядке конденсатора.
Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1.
Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45.
Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 58.
Мощность, развиваемая источником тока во всей цепи, называется полной мощностью.
Она определяется по формуле
где Pоб-полная мощность, развиваемая источником тока во всей цепи, вт;
Е- э. д. с. источника, в;
I-величина тока в цепи, а.
В общем виде электрическая цепь состоит из внешнего участка (нагрузки) с сопротивлением R и внутреннего участка с сопротивлением R0 (сопротивлением источника тока).
Заменяя в выражении полной мощности величину э. д. с. через напряжения на участках цепи, получим
Величина UI соответствует мощности, развиваемой на внешнем участке цепи (нагрузке), и называется полезной мощностью Pпол=UI.
Величина UoI соответствует мощности, бесполезно расходуемой внутри источника, Ее называют мощностью потерь Po=UoI.
Таким образом, полная мощность равна сумме полезной мощности и мощности потерь Pоб=Pпол+P0.
Отношение полезной мощности к полной мощности, развиваемой источником, называется коэффициентом полезного действия, сокращенно к. п. д.,и обозначается η.
Из определения следует
При любых условиях коэффициент полезного действия η ≤ 1.
Если выразить мощности через величину тока и сопротивления участков цепи, получим
Таким образом, к. п. д. зависит от соотношения между внутренним сопротивлением источника и сопротивлением потребителя.
Обычно электрический к. п. д. принято выражать в процентах.
Для практической электротехники особый интерес представляют два вопроса:
1. Условие получения наибольшей полезной мощности
2. Условие получения наибольшего к. п. д.
Наибольшую полезную мощность( мощность на нагрузке) электрический ток развивает в том случае, если сопротивление нагрузки равно сопротивлению источника тока.
Эта наибольшая мощность равна половине всей мощности (50%) развиваемой источником тока во всей цепи.
Половина мощности развивается на нагрузке и половина развивается на внутреннем сопротивлении источника тока.
Если будем уменьшать сопротивление нагрузки, то мощность развиваемая на нагрузке будет уменьшаться а мощность развиваемая на внутреннем сопротивлении источника тока будет увеличиваться.
Если сопротивление нагрузки равно нулю то ток в цепи будет максимальным, это режим короткого замыкания (КЗ). Почти вся мощность будет развивается на внутреннем сопротивлении источника тока. Этот режим опасен для источника тока а также для всей цепи.
Если сопротивление нагрузки будем увеличивать, то ток в цепи будет уменьшатся, мощность на нагрузке также будет уменьшатся. При очень большом сопротивлении нагрузки тока в цепи вообще не будет. Это сопротивление называется бесконечно большим. Если цепь разомкнута то ее сопротивление бесконечно большое. Такой режим называется режимом холостого хода.
Таким образом, в режимах, близких к короткому замыканию и к холостому ходу, полезная мощность мала в первом случае за счет малой величины напряжения, а во втором за счет малой величины тока.
Коэффициент полезного действия (к. п. д.) равен 100% при холостом ходе ( в этом случае полезная мощность не выделяется, но в то же время и не затрачивается мощность источника).
По мере увеличения тока нагрузки к. п. д. уменьшается по прямолинейному закону.
В режиме короткого замыкания к. п. д. равен нулю ( полезной мощности нет, а мощность развиваемая источником, полностью расходуется внутри него).
Подводя итоги вышеизложенному, можно сделать выводы.
Условие получения максимальной полезной мощности( R=R0) и условие получения максимального к. п. д. (R=∞) не совпадают. Более того, при получении от источника максимальной полезной мощности ( режим согласованной нагрузки) к. п. д.составляет 50%, т.е. половина развиваемой источником мощности бесполезно затрачивается внутри него.
В мощных электрических установках режим согласованной нагрузки является неприемлемым, так как при этом происходит бесполезная затрата больших мощностей. Поэтому для электрических станций и подстанций режимы работы генераторов, трансформаторов, выпрямителей рассчитываются так, чтобы обеспечивался высокий к. п. д. ( 90% и более).
Иначе обстоит дело в технике слабых токов. Возьмем, например, телефонный аппарат. При разговоре перед микрофоном в схеме аппарата создается электрический сигнал мощностью около 2 мвт. Очевидно, что для получения наибольшей дальности связи необходимо передать в линию как можно большую мощность, а для этого требуется выполнить режим согласованного включения нагрузки. Имеет ли в данном случае существенное значение к. п. д.? Конечно нет, так как потери энергии исчисляются долями или единицами милливатт.
Режим согласованной нагрузки применяется в радиоаппаратуре. В том случае, когда согласованный режим при непосредственном соединении генератора и нагрузки не обеспечивается, применяют меры согласования их сопротивлений.
Задачи, тесты
Мощность, выделяемая во внешней цепи с
потребителями
С.Н.КАРТАШОВ,
с. Маис, Пензенская обл.
Решение задач на экстремум с
компьютерной поддержкой
Предлагаемые задачи рассматриваются с
учениками 10-х и 11-х классов на заседании
школьного физического кружка. Они требуют знаний
по
теме «Законы постоянного тока», умения
исследовать функции на экстремум при помощи
производной, а также навыков программирования на
компьютере.
ЗАДАЧА 1. Найдите зависимость мощности,
выделяемой во внешней цепи, от числа одинаковых
потребителей (лампочек), соединённых
параллельно. ЭДС источника , его внутреннее сопротивление r.
Решение
Пусть сопротивления всех лампочек
одинаковы R1 = R2 = … = Rn,
P – мощность, выделяемая во внешней цепи, P1
– мощность, выделяемая на каждой лампочке.
Очевидно, что P = nP1; P1 = I12R1, где I1 – ток, проходящий
через каждую лампочку.
Сила тока в неразветвлённой цепи:
(1)
Применяя первое правило Кирхгофа,
имеем
(2)
С учётом (2) имеем для мощности
Полная мощность, выделяемая во внешней
цепи:
(3)
Нетрудно заметить , что если n , то P 0. Это означает, что при
неограниченном увеличении количества лампочек
мы не достигнем бесконечного увеличения
мощности, выделяемой во внешней цепи. Напротив,
мощность будет стремиться к нулю.
Из формулы (3) следует также, что если r
0, то P n2/R. То есть, если
источник тока идеален (r = 0), то мощность
возрастает прямо пропорционально числу
потребителей в цепи. Но внутреннее сопротивление
источника тока не может быть равно нулю, поэтому
достигнуть бесконечного увеличения мощности во
внешней цепи за счёт увеличения числа
потребителей невозможно. Напротив, достигнув
максимума, мощность, выделяемая во внешней цепи,
начнёт уменьшаться с ростом потребителей.
Для получения полной картины
зависимости мощности Р от количества
потребителей n, можно предложить учащимся
построить график зависимости P(n) на
компьютере ( = 20 В, r
= 0,5 Ом, R1 = 100 Ом). В рубрике
«Дополнительные материалы» на сайте газеты https://fiz.1september.ru приводим
авторскую компьютерную программу WATT для
построения вышеупомянутой зависимости (среда
программирования QBasic, компьютер Celeron1300).
Изменяя внутреннее сопротивление r
при неизменных и R1,
делаем вывод: мощность P, выделяемая во
внешней цепи, убывает с ростом r. Изменяя R1
при неизменных и r,
делаем вывод: от сопротивления одной лампочки
максимум мощности P не зависит. Этот
максимум сдвигается вправо при увеличении R1
и сдвигается влево при уменьшении R1.
Число ламп в цепи, при котором наблюдается
максимум мощности, равно nmax = R1/r.
То есть мощность, выделяемая во внешней цепи,
максимальна, если внутреннее сопротивление
источника тока равно внешнему сопротивлению
цепи: r = R1/ nmax.
Расчётные результаты отлично согласуются с
результатами следующей, похожей, задачи.
ЗАДАЧА 2. При каком значении R
мощность, выделяемая во внешней цепи,
максимальна? ЭДС источника тока , внутреннее сопротивление r.
Решение
Получим формулу зависимости мощности P,
выделяемой во внешней цепи, от внешнего
сопротивления R и исследуем функцию P(r)
на экстремум при помощи производной.
По закону Ома для полной цепи, ток I
=/(R + r),
мощность, выделяемая во внешней цепи:
Дифференцируем P по R:
Найдём критические точки из условия P’
= 0:
(R + r)2 – 2R(R + r)
= 0;(R + r) · (R + r – 2R) =
0;(R + r) · (r – R) = 0.
Имеем две критические точки R = –r
и R = r . Но т.к. R > 0, то R = –r
не имеет смысла. Производная P’ меняет знак с
«+» на «–» в точке R = r, следовательно, R
= r – точка минимума.
Итак, мощность максимальна, если R
= r, т.е. внутреннее сопротивление источника
тока равно внешнему сопротивлению. Это означает,
что применительно к задаче 1 максимум мощности
наблюдается при R = r, но т.к.
сопротивление n одинаковых ламп равно R
= R1/n, то r = R1/n,
или n = nmax = R1/r.
Рассчитаем максимум мощности,
используя формулу (3) и условие r = R1/n:
(4)
При = 12 В,
r = 0,4 Ом и R1= 20 Ом имеем nmax
= R1/r = 50 ламп.
Согласно формуле (4), Pmax = 90
Вт. Всё это очень хорошо согласуется с
результатами компьютерного эксперимента. Кроме
того, из этой формулы следует, что максимум
мощности зависит от внутреннего сопротивления
обратно пропорционально, в чём легко убедиться,
используя компьютерную программу WATT,
приведённую на сайте газеты https://fiz.1september.ru.
В заключение необходимо сказать, что
все выше приведённые выкладки, а также
результаты, полученные с помощью компьютерной
программы для цепей постоянного тока,
справедливы и для цепей переменного тока.
Возможен более современный подход,
если использовать для моделирования таблицу МicrosoftExcel.
Если R – внешнее сопротивление цепи, то Построим график
для тех же данных: 1= 20 В, r = 0,5 Ом, меняя R
от 0,1 до 2,7 Ом с шагом 0,1 Ом. Для этого в ячейку B4
введём формулу =$B$1^2*A4/(A4+$B$2)^2 и скопируем её в
ячейки В5–В30. Графики, построенные с помощью
таблицы Excel и программы WATT, совпадают
(максимум мощности 200 Вт получается, если внешнее
сопротивление цепи равно внутреннему
сопротивлению источника тока). В рубрике
«Дополнительные материалы» к № 9/2008 на сайте
газеты приведена программа «Мощность»,
аналогичная программе WATT, но на более
продвинутом языке VisualBasic6.0, результат расчёта
с её помощью, а также таблица МicrosoftExcel.
Сергей Николаевич Карташов –
учитель физики высшей квалификационной
категории, выпускник физфака МПГУ им. В.И.Ленина
1993 г. Педагогический стаж 14 лет. Ученики Сергея
Владимировича занимают призовые места на
районных олимпиадах по физике и математике.
Педагогическое кредо: моделирование физических
процессов на компьютере, индивидуальная работа с
сильными детьми. Один закончил физфак МГУ им.
М.В.Ломоносова, ещё один учится в университете им.
Н.Э.Баумана. В 2002 г. Сергей Владимирович был
награждён почётной грамотой МОиН РФ. Женат, сыну
3,5 года. Хобби: шахматы, решение олимпиадных
задач по физике и математике, кулинария.
С.Н.КАРТАШОВ,
с. Маис, Пензенская обл.
maisscool1@mail.ru