Полезная мощность двигателя при равномерном движении

Иметь представление о мощности при прямолинейном и кри­волинейном перемещениях, о мощности полезной и затраченной, о коэффициенте полезного действия.

Знать зависимости для определения мощности при поступа­тельном и вращательном движениях, КПД.

Уметь рассчитать мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.

Мощность

Для характеристики работоспособности и быстроты совершения работы введено понятие мощности.

Мощность — работа, выполненная в единицу времени:

Единицы измерения мощности: ватты, киловатты,

Мощность при поступательном движении (рис. 16.1)

Учитывая, что S/t = vcp, полу­чим

где F — модуль силы, действующей на тело; vср — средняя скорость движения тела.

Средняя мощность при поступательном движении равна про­изведению модуля силы на среднюю скорость перемещения и на ко­синус угла между направлениями силы и скорости.

Мощность при вращении (рис. 16.2)

Тело движется по дуге радиуса r из точки М1 в точку M2

Работа силы:

где Мвр — вращающий момент.

Учитывая, что

получим

где ωcp — средняя угловая скорость.

Мощность силы при вращении равна произведению вращающего момента на среднюю угловую скорость.

Если при выполнении работы усилие машины и скорость дви­жения меняются, можно определить мощность в любой момент вре­мени, зная значения усилия и скорости в данный момент.

Коэффициент полезного действия

Каждая машина и механизм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление вредных сопротивлений. Таким образом, машина (механизм) кроме полезной работы со­вершает еще и дополнительную работу.

Отношение полезной работы к полной работе или полезной мощ­ности ко всей затраченной мощности называется коэффициентом по­лезного действия (КПД):

Полезная работа (мощность) расходуется на движение с задан­ной скоростью и определяется по формулам:

Затраченная мощность больше полезной на величину мощности, идущей на преодоление трения в звеньях машины, на утечки и тому подобные потери.

Чем выше КПД, тем совершеннее машина.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить потребную мощность мотора лебедки для подъема груза весом 3 кН на высоту 10 м за 2,5 с (рис. 16.3). КПД механизма лебедки 0,75.

Решение

1. Мощность мотора используется на подъем груза с заданной скоростью и преодоление вредных сопротивлений механизма лебедки.

Полезная мощность определяется по формуле

Р = Fv cos α.

В данном случае α = 0; груз движется поступательно.

2. Скорость подъема груза

3. Необходимое усилие равно весу груза (равномерный подъем).

6. Полезная мощность Р = 3000 • 4 = 12 000 Вт.

7. Полная мощность. затрачиваемая мотором,

Пример 2. Судно движется со скоростью 56 км/ч (рис. 16.4). Двигатель развивает мощность 1200 кВт. Определить силу сопротивления во­ды движению судна. КПД машины 0,4.

Решение

1. Определяем полезную мощность, используемую на движение с заданной скоростью:

2. По формуле для полезной мощности можно определить движущую силу судна с учетом условия α = 0. При равномерном дви­жении движущая сила равна силе сопротивления воды:

Fдв = Fcопр.

3. Скорость движения судна v = 36 * 1000/3600 = 10 м/с

4. Сила сопротивления воды

Сила сопротивления воды движению судна

Fcопр. = 48 кН

Пример 3. Точильный камень прижимается к обрабатываемой детали с силой 1,5 кН (рис. 16.5). Какая мощ­ность затрачивается на обработку детали, если коэффициент трения материала камня о деталь 0,28; деталь вращается со скоростью 100 об/мин, диаметр детали 60 мм.

Решение

1. Резание осуществляется за счет трения между точильным камнем и обрабатываемой деталью:

Пример 4. Для того чтобы поднять волоком по наклонной плоскости на высоту H = 10 м станину массой т == 500 кг, воспользовались электрической лебедкой (рис. 1.64). Вращающий момент на выходном барабане лебедки М = 250 Н-м. Ба­рабан равномерно вращается с частотой п = 30 об/мин. Для подъема станины лебедка ра­ботала в течение t = 2 мин. Определить коэффициент по­лезного действия наклонной плоскости.

Решение

Как известно,

где Ап.с. — полезная работа; Адв — работа движущих сил.

В рассматриваемом примере полезная работа — работа силы тяжести

Вычислим работу движущих сил, т. е. работу вра­щающего момента на выходном валу лебедки:

Угол поворота барабана лебедки определяется по уравнению равномерного вращения:

где

Тогда

Подставив в выражение работы движущих сил число­вые значения вращающего момента М и угла поворота φ, получим:

Коэффициент полезного действия наклонной плоскости составит

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите формулы для расчета работы при поступательном и вращательном движениях.

2. Вагон массой 1000 кг перемещают по горизонтальному пути на 5 м, коэффициент трения 0,15. Определите работу силы тяжести.

3. Колодочным тормозом останавливают барабан после отклю­чения двигателя (рис. 16.6). Определите работу торможения за 3 обо­рота, если сила прижатия колодок к барабану 1 кН, коэффициент трения 0,3.

4. Натяжение ветвей ременной передачи S1 = 700 Н, S2 = 300 Н (рис. 16.7). Определите вращающий момент передачи.

5. Запишите формулы для расчета мощности при поступатель­ном и вращательном движениях.

6. Определите мощность, необходимую для подъема груза весом 0,5 кН на высоту 10 м за 1 мин.

7. Определите общий КПД механизма, если при мощности дви­гателя 12,5 кВт и общей силе сопротивления движению 2 кН ско­рость движения 5 м/с.

8. Ответьте на вопросы тестового задания.

Тема 1.14. Динамика. Работа и мощность

ЛЕКЦИЯ 17



Все формулы

Все формулы по физике и математике

Темы по физике

• Механика (56)
  • Кинематика (19)
  • Динамика и статика (32)
  • Гидростатика (5)
• Молекулярная физика (25)
  • Уравнение состояния (3)
  • Термодинамика (15)
  • Броуновское движение (6)
  • Прочие формулы по молекулярной физике (1)
• Колебания и волны (22)
• Оптика (9)
  • Геометрическая оптика (3)
  • Физическая оптика (5)
  • Волновая оптика (1)
• Электричество (39)
• Атомная физика (15)
• Ядерная физика (3)

Темы по математике

• Квадратный корень, рациональные переходы (1)
• Квадратный трехчлен (1)
• Координатный метод в стереометрии (1)
• Логарифмы (1)
• Логарифмы, рациональные переходы (1)
• Модуль (1)
• Модуль, рациональные переходы (1)
• Планиметрия (1)
• Прогрессии (1)
• Производная функции (1)
• Степени и корни (1)
• Стереометрия (1)
• Тригонометрия (1)
• Формулы сокращенного умножения (1)

Сообщение от администратора:

Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
Переходите по моей ссылке и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
Занимаюсь там сам — очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите СЮДА

Мощность — выражается как отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к промежутку времени

Из формулы следует, что в системе СИ единицей мощности является 1 Дж/с (джоуль в секунду). Эту единицу иначе называют ватт (Вт), 1 Вт= 1 Дж/с.

Мощность показывает, какая работа совершается за единицу времени

Если на движущееся тело действует сила, то эта сила совершает работу. Мощность в этом случае равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется тело:

Формула показывает связь между мощностью и скоростью при равномерном движении. Так же формула справедлива и для переменного движения, если под N понимать мгновенную мощность, а под V — мгновенную скорость). Если направление силы совпадает с направлением перемещения, то

и N=Fv.Тогда следует, что

Из этих формул видно, что при постоянной мощности двигателя скорость движения обратно пропорциональна силе тяги и наоборот. На этом основан принцип действия коробки скоростей (коробки перемены передач) различных транспортных средств.

В формуле мы использовали :

— Мощность

— Выполненная работа

— Время, за которое выполнялась работа

— Сила, приложенная к телу

— Скорость тела

— Угол между силой и скоростью

Тема 1.14. Работа и мощность. Коэффициент полезного действия.

Иметь представление о мощности при прямолинейном и кри­волинейном перемещениях, о мощности полезной и затраченной, о коэффициенте полезного действия.

Знать зависимости для определения мощности при поступа­тельном и вращательном движениях, КПД.

Уметь рассчитать мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.

Мощность

Для характеристики работоспособности и быстроты совершения работы введено понятие мощности.

Мощность — работа, выполненная в единицу времени:

Единицы измерения мощности: ватты, киловатты,

Мощность при поступательном движении (рис. 16.1)

Учитывая, что S/t = vcp, полу­чим

где F — модуль силы, действующей на тело; vср — средняя скорость движения тела.

Средняя мощность при поступательном движении равна про­изведению модуля силы на среднюю скорость перемещения и на ко­синус угла между направлениями силы и скорости.

Мощность при вращении (рис. 16.2)

Тело движется по дуге радиуса r из точки М1 в точку M2

где Мвр — вращающий момент.

получим

где ωcp — средняя угловая скорость.

Мощность силы при вращении равна произведению вращающего момента на среднюю угловую скорость.

Если при выполнении работы усилие машины и скорость дви­жения меняются, можно определить мощность в любой момент вре­мени, зная значения усилия и скорости в данный момент.

Коэффициент полезного действия

Каждая машина и механизм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление вредных сопротивлений. Таким образом, машина (механизм) кроме полезной работы со­вершает еще и дополнительную работу.

Отношение полезной работы к полной работе или полезной мощ­ности ко всей затраченной мощности называется коэффициентом по­лезного действия (КПД):

Полезная работа (мощность) расходуется на движение с задан­ной скоростью и определяется по формулам:

Затраченная мощность больше полезной на величину мощности, идущей на преодоление трения в звеньях машины, на утечки и тому подобные потери.

Чем выше КПД, тем совершеннее машина.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить потребную мощность мотора лебедки для подъема груза весом 3 кН на высоту 10 м за 2,5 с (рис. 16.3). КПД механизма лебедки 0,75.

Решение

1. Мощность мотора используется на подъем груза с заданной скоростью и преодоление вредных сопротивлений механизма лебедки.

Полезная мощность определяется по формуле

Р = Fv cos α.

В данном случае α = 0; груз движется поступательно.

2. Скорость подъема груза

3. Необходимое усилие равно весу груза (равномерный подъем).

6. Полезная мощность Р = 3000 • 4 = 12 000 Вт.

7. Полная мощность. затрачиваемая мотором,

Пример 2. Судно движется со скоростью 56 км/ч (рис. 16.4). Двигатель развивает мощность 1200 кВт. Определить силу сопротивления во­ды движению судна. КПД машины 0,4.

Решение

1. Определяем полезную мощность, используемую на движение с заданной скоростью:

2. По формуле для полезной мощности можно определить движущую силу судна с учетом условия α = 0. При равномерном дви­жении движущая сила равна силе сопротивления воды:

3. Скорость движения судна v = 36 * 1000/3600 = 10 м/с

4. Сила сопротивления воды

Сила сопротивления воды движению судна

Пример 3. Точильный камень прижимается к обрабатываемой детали с силой 1,5 кН (рис. 16.5). Какая мощ­ность затрачивается на обработку детали, если коэффициент трения материала камня о деталь 0,28; деталь вращается со скоростью 100 об/мин, диаметр детали 60 мм.

Решение

1. Резание осуществляется за счет трения между точильным камнем и обрабатываемой деталью:

Пример 4. Для того чтобы поднять волоком по наклонной плоскости на высоту H = 10 м станину массой т == 500 кг, воспользовались электрической лебедкой (рис. 1.64). Вращающий момент на выходном барабане лебедки М = 250 Н-м. Ба­рабан равномерно вращается с частотой п = 30 об/мин. Для подъема станины лебедка ра­ботала в течение t = 2 мин. Определить коэффициент по­лезного действия наклонной плоскости.

Решение

где Ап.с. — полезная работа; Адв — работа движущих сил.

В рассматриваемом примере полезная работа — работа силы тяжести

Вычислим работу движущих сил, т. е. работу вра­щающего момента на выходном валу лебедки:

Угол поворота барабана лебедки определяется по уравнению равномерного вращения:

Подставив в выражение работы движущих сил число­вые значения вращающего момента М и угла поворота φ, получим:

Коэффициент полезного действия наклонной плоскости составит

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите формулы для расчета работы при поступательном и вращательном движениях.

2. Вагон массой 1000 кг перемещают по горизонтальному пути на 5 м, коэффициент трения 0,15. Определите работу силы тяжести.

3. Колодочным тормозом останавливают барабан после отклю­чения двигателя (рис. 16.6). Определите работу торможения за 3 обо­рота, если сила прижатия колодок к барабану 1 кН, коэффициент трения 0,3.

4. Натяжение ветвей ременной передачи S1 = 700 Н, S2 = 300 Н (рис. 16.7). Определите вращающий момент передачи.

5. Запишите формулы для расчета мощности при поступатель­ном и вращательном движениях.

6. Определите мощность, необходимую для подъема груза весом 0,5 кН на высоту 10 м за 1 мин.

7. Определите общий КПД механизма, если при мощности дви­гателя 12,5 кВт и общей силе сопротивления движению 2 кН ско­рость движения 5 м/с.

Все формулы

Все формулы по физике и математике

Темы по физике

• Механика (56)
  • Кинематика (19)
  • Динамика и статика (32)
  • Гидростатика (5)
• Молекулярная физика (25)
  • Уравнение состояния (3)
  • Термодинамика (15)
  • Броуновское движение (6)
  • Прочие формулы по молекулярной физике (1)
• Колебания и волны (22)
• Оптика (9)
  • Геометрическая оптика (3)
  • Физическая оптика (5)
  • Волновая оптика (1)
• Электричество (39)
• Атомная физика (15)
• Ядерная физика (3)

Темы по математике

• Квадратный корень, рациональные переходы (1)
• Квадратный трехчлен (1)
• Координатный метод в стереометрии (1)
• Логарифмы (1)
• Логарифмы, рациональные переходы (1)
• Модуль (1)
• Модуль, рациональные переходы (1)
• Планиметрия (1)
• Прогрессии (1)
• Производная функции (1)
• Степени и корни (1)
• Стереометрия (1)
• Тригонометрия (1)
• Формулы сокращенного умножения (1)

Сообщение от администратора:

Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
Переходите по моей ссылке и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
Занимаюсь там сам — очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите СЮДА

Мощность — выражается как отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к промежутку времени

Из формулы следует, что в системе СИ единицей мощности является 1 Дж/с (джоуль в секунду). Эту единицу иначе называют ватт (Вт), 1 Вт= 1 Дж/с.

Мощность показывает, какая работа совершается за единицу времени

Если на движущееся тело действует сила, то эта сила совершает работу. Мощность в этом случае равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется тело:

Формула показывает связь между мощностью и скоростью при равномерном движении. Так же формула справедлива и для переменного движения, если под N понимать мгновенную мощность, а под V — мгновенную скорость). Если направление силы совпадает с направлением перемещения, то

и N=Fv.Тогда следует, что

Из этих формул видно, что при постоянной мощности двигателя скорость движения обратно пропорциональна силе тяги и наоборот. На этом основан принцип действия коробки скоростей (коробки перемены передач) различных транспортных средств.

В формуле мы использовали :

— Мощность

— Выполненная работа

— Время, за которое выполнялась работа

— Сила, приложенная к телу

— Скорость тела

— Угол между силой и скоростью

Скорость совершения работы характеризуется мощностью.

Различают среднюю и мгновенную мощность.

Средняя мощность определяется формулой

где A — работа, совершаемая за время ∆ t .

Для вычисления средней мощности также пользуются формулой

N = ( F → , 〈 v → 〉 ) = F → ⋅ 〈 v → 〉 = F 〈 v 〉 cos α ,

где F → — сила, совершающая работу; 〈 v → 〉 — средняя скорость перемещения; α — угол между векторами F → и 〈 v → 〉 .

В Международной системе единиц мощность измеряется в ваттах (1 Вт).

Мгновенная мощность определяется формулой

где A ′( t ) — производная от функции работы по времени.

Для вычисления мгновенной мощности также пользуются фор­мулой

N = ( F → , v → ) = F → ⋅ v → = F v cos α ,

где F → — сила, совершающая работу; v → — мгновенная скорость перемещения; α — угол между векторами F → и v → .

Пример 20. Тело массой 60 г к моменту падения на Землю имеет скорость 5,0 м/с. Определить мощность силы тяжести в этот момент.

Решение. На рисунке показаны направления скорости тела и силы тяжести, действующей на тело.

В задаче задана мгновенная скорость тела; следовательно, мощность, которую необходимо рассчитать, также является мгновенной мощностью. Величина мгновенной мощности силы тяжести определяется формулой

где mg — модуль силы тяжести; m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; v — модуль скорости тела; α = 0° — угол между векторами скорости и силы.

N = 60 ⋅ 10 − 3 ⋅ 10 ⋅ 5,0 ⋅ 1 = 3,0 Вт.

Пример 21. При скорости 36 км/ч мощность двигателя автомобиля равна 2,0 кВт. Считая, что сила сопротивления движению автомобиля со стороны воздуха и дороги пропорциональна квадрату скорости, определить мощность двигателя при скорости 72 км/ч.

Решение. Мощность двигателя автомобиля определяется силой тяги и скоростью:

N * = F тяги v cos α ,

где F тяги — величина силы тяги двигателя автомобиля; v — модуль скорости автомобиля при заданной мощности; α = 0° — угол между векторами силы тяги и скорости.

Силы, действующие на автомобиль, направление его скорости и выбранная система координат показаны на рисунке.

Для определения величины силы тяги запишем второй закон Ньютона с учетом того, что автомобиль движется с постоянной скоростью:

F → тяги + F → сопр + m g → + N → = 0 ,

или в проекциях на координатные оси —

O x : F тяги − F сопр = 0 ; O y : N − m g = 0, >

где F сопр — модуль силы сопротивления движению автомобиля; N — модуль силы нормальной реакции, действующей на автомобиль со стороны дороги; m — масса автомобиля; g — модуль ускорения свободного падения.

Из первого уравнения системы следует равенство модулей сил тяги и сопротивления:

По условию задачи сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости автомобиля:

где k — коэффициент пропорциональности.

Подстановка данного выражения в формулу для силы тяги

а затем в формулу для вычисления мощности дает:

N * = k v 3 cos α .

Таким образом, мощность двигателя автомобиля определяется формулой:

N 1 * = k v 1 3 cos α ;

N 2 * = k v 2 3 cos α ,

где v 1 = 36 км/ч — первая скорость автомобиля; v 2 = 72 км/ч — вторая скорость автомобиля.

N 1 * N 2 * = k v 1 3 cos α k v 2 3 cos α = ( v 1 v 2 ) 3

позволяет вычислить искомую мощность автомобиля:

N 2 * = N 1 * ( v 2 v 1 ) 3 = 2,0 ⋅ 10 3 ⋅ ( 72 36 ) 3 = 16 ⋅ 10 3 Вт = 16 кВт.

Пример 22. Два автомобиля одновременно трогаются с места и движутся равноускоренно. Массы автомобилей одинаковы. Во сколько раз средняя мощность первого автомобиля больше средней мощности второго, если за одно и то же время первый автомобиль развивает скорость вдвое большую, чем второй? Сопротивлением движению пренебречь.

Решение. Мощность двигателей автомобилей определяется фор­мулой:

N 1 * = F тяги 1 v 1 cos α ,

N 2 * = F тяги 2 v 2 cos α ,

где F тяги1 — величина силы тяги двигателя первого автомобиля; v 1 — модуль скорости первого автомобиля; F тяги2 — величина силы тяги двигателя второго автомобиля; v 2 — модуль скорости второго автомобиля; α = 0° — угол между векторами силы тяги и скорости.

Силы, действующие на первый и второй автомобиль, направление движения и выбранная система координат показаны на рисунке.

Для определения величины силы тяги запишем второй закон Ньютона с учетом того, что автомобили движутся равноускоренно:

F → тяги 1 + m 1 g → + N → 1 = m 1 a → 1 ,

или в проекциях на координатные оси —

O x : F тяги 1 = m 1 a 1 ; O y : N 1 − m 1 g = 0, >

F → тяги 2 + m 2 g → + N → 2 = m 2 a → 2 ,

или в проекциях на координатные оси —

O x : F тяги 2 = m 2 a 2 ; O y : N 2 − m 2 g = 0, >

где m 1 — масса первого автомобиля; m 2 — масса второго автомобиля; g — модуль ускорения свободного падения; N 1 — модуль силы нормальной реакции, действующей на первый автомобиль со стороны дороги; N 2 — модуль силы нормальной реакции, действующей на второй автомобиль со стороны дороги; a 1 — модуль ускорения первого автомобиля; a 2 — модуль ускорения второго автомобиля.

Из записанных уравнений следует, что величины сил тяги первого и второго автомобиля определяются формулами:

Отношение модулей сил тяги ( F тяги1/ F тяги2) определяется отношением

F тяги 1 F тяги 2 = m 1 a 1 m 2 a 2 .

Движение автомобилей происходит равноускоренно без начальной скорости, поэтому их скорость с течением времени изменяется по законам:

Отношение модулей скоростей ( v 1/ v 2) определяется отношением величин ускорений ( a 1/ a 2):

v 1 v 2 = a 1 a 2 ,

а отношение мощностей —

N 1 * N 2 * = F тяги 1 v 1 cos α F тяги 2 v 2 cos α = F тяги 1 F тяги 2 v 1 v 2 .

Подставим в полученное отношение выражения для ( F тяги1/ F тяги2) и ( v 1/ v 2):

N 1 * N 2 * = m 1 a 1 m 2 a 2 a 1 a 2 = m 1 m 2 ( a 1 a 2 ) 2 .

Преобразование формулы с учетом равенства масс автомобилей ( m 1 = m 2 = m ) и замены ( a 1/ a 2 = v 1/ v 2) дает искомое отношение мощностей:

N 1 * N 2 * = ( v 1 v 2 ) 2 = ( 2 v 2 v 2 ) 2 = 2 2 = 4 .

Таким образом, мощность первого автомобиля в 4 раза больше мощности второго автомобиля.