Найти среднюю полезную мощность при разбеге

Лучший ответ:

Другие вопросы:

3.3. Работа и мощность механической системы

3.3.2. Мощность

Скорость совершения работы характеризуется мощностью.

Различают среднюю и мгновенную мощность.

Средняя мощность определяется формулой

〈N〉=AΔt,

где A — работа, совершаемая за время ∆t.

Для вычисления средней мощности также пользуются формулой

N=(F→,〈v→〉)=F→⋅〈v→〉=F〈v〉cosα,

где F→ — сила, совершающая работу; 〈v→〉 — средняя скорость перемещения; α — угол между векторами F→ и 〈v→〉.

В Международной системе единиц мощность измеряется в ваттах (1 Вт).

Мгновенная мощность определяется формулой

N = A′(t),

где A′(t) — производная от функции работы по времени.

Для вычисления мгновенной мощности также пользуются фор­мулой

N=(F→,v→)=F→⋅v→=Fvcosα,

где F→ — сила, совершающая работу; v→ — мгновенная скорость перемещения; α — угол между векторами F→ и v→.

Пример 20. Тело массой 60 г к моменту падения на Землю имеет скорость 5,0 м/с. Определить мощность силы тяжести в этот момент.

Решение. На рисунке показаны направления скорости тела и силы тяжести, действующей на тело.

В задаче задана мгновенная скорость тела; следовательно, мощность, которую необходимо рассчитать, также является мгновенной мощностью. Величина мгновенной мощности силы тяжести определяется формулой

N = mgv cos α,

где mg — модуль силы тяжести; m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; v — модуль скорости тела; α = 0° — угол между векторами скорости и силы.

Произведем вычисление:

N=60⋅10−3⋅10⋅5,0⋅1=3,0 Вт.

Пример 21. При скорости 36 км/ч мощность двигателя автомобиля равна 2,0 кВт. Считая, что сила сопротивления движению автомобиля со стороны воздуха и дороги пропорциональна квадрату скорости, определить мощность двигателя при скорости 72 км/ч.

Решение. Мощность двигателя автомобиля определяется силой тяги и скоростью:

N*=Fтягиvcosα,

где Fтяги — величина силы тяги двигателя автомобиля; v — модуль скорости автомобиля при заданной мощности; α = 0° — угол между векторами силы тяги и скорости.

Силы, действующие на автомобиль, направление его скорости и выбранная система координат показаны на рисунке.

Для определения величины силы тяги запишем второй закон Ньютона с учетом того, что автомобиль движется с постоянной скоростью:

F→тяги+F→сопр+mg→+N→=0,

или в проекциях на координатные оси —

Ox: Fтяги−Fсопр=0;Oy: N−mg=0,}

где Fсопр — модуль силы сопротивления движению автомобиля; N — модуль силы нормальной реакции, действующей на автомобиль со стороны дороги; m — масса автомобиля; g — модуль ускорения свободного падения.

Из первого уравнения системы следует равенство модулей сил тяги и сопротивления:

Fтяги = Fсопр.

По условию задачи сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости автомобиля:

Fсопр = kv2,

где k — коэффициент пропорциональности.

Подстановка данного выражения в формулу для силы тяги

Fтяги = kv2,

а затем в формулу для вычисления мощности дает:

N*=kv3cosα.

Таким образом, мощность двигателя автомобиля определяется формулой:

• при скорости v1 —

N1*=kv13cosα;

• при скорости v2 —

N2*=kv23cosα,

где v1 = 36 км/ч — первая скорость автомобиля; v2 = 72 км/ч — вторая скорость автомобиля.

Отношение

N1*N2*=kv13cosαkv23cosα=(v1v2)3

позволяет вычислить искомую мощность автомобиля:

N2*=N1*(v2v1)3=2,0⋅103⋅(7236)3=16⋅103 Вт=16 кВт.

Пример 22. Два автомобиля одновременно трогаются с места и движутся равноускоренно. Массы автомобилей одинаковы. Во сколько раз средняя мощность первого автомобиля больше средней мощности второго, если за одно и то же время первый автомобиль развивает скорость вдвое большую, чем второй? Сопротивлением движению пренебречь.

Решение. Мощность двигателей автомобилей определяется фор­мулой:

• для первого автомобиля

N1*=Fтяги1v1cosα,

• для второго автомобиля

N2*=Fтяги2v2cosα,

где Fтяги1 — величина силы тяги двигателя первого автомобиля; v1 — модуль скорости первого автомобиля; Fтяги2 — величина силы тяги двигателя второго автомобиля; v2 — модуль скорости второго автомобиля; α = 0° — угол между векторами силы тяги и скорости.

Силы, действующие на первый и второй автомобиль, направление движения и выбранная система координат показаны на рисунке.

Для определения величины силы тяги запишем второй закон Ньютона с учетом того, что автомобили движутся равноускоренно:

• для первого автомобиля

F→тяги1+m1g→+N→1=m1a→1,

или в проекциях на координатные оси —

Ox: Fтяги1=m1a1;Oy: N1−m1g=0,}

• для второго автомобиля

F→тяги2+m2g→+N→2=m2a→2,

или в проекциях на координатные оси —

Ox: Fтяги2=m2a2;Oy: N2−m2g=0,}

где m1 — масса первого автомобиля; m2 — масса второго автомобиля; g — модуль ускорения свободного падения; N1 — модуль силы нормальной реакции, действующей на первый автомобиль со стороны дороги; N2 — модуль силы нормальной реакции, действующей на второй автомобиль со стороны дороги; a1 — модуль ускорения первого автомобиля; a2 — модуль ускорения второго автомобиля.

Из записанных уравнений следует, что величины сил тяги первого и второго автомобиля определяются формулами:

• для первого автомобиля

Fтяги1 = m1a1,

• для второго автомобиля

Fтяги2 = m2a2.

Отношение модулей сил тяги (Fтяги1/Fтяги2) определяется отношением

Fтяги1Fтяги2=m1a1m2a2.

Движение автомобилей происходит равноускоренно без начальной скорости, поэтому их скорость с течением времени изменяется по законам:

• для первого автомобиля

v1 = a1t,

• для второго автомобиля

v2 = a2t,

где t — время.

Отношение модулей скоростей (v1/v2) определяется отношением величин ускорений (a1/a2):

v1v2=a1a2,

а отношение мощностей —

N1*N2*=Fтяги1v1cosαFтяги2v2cosα=Fтяги1Fтяги2v1v2.

Подставим в полученное отношение выражения для (Fтяги1/Fтяги2) и (v1/v2):

N1*N2*=m1a1m2a2a1a2=m1m2(a1a2)2.

Преобразование формулы с учетом равенства масс автомобилей (m1 = m2 = m) и замены (a1/a2 = v1/v2) дает искомое отношение мощностей:

N1*N2*=(v1v2)2=(2v2v2)2=22=4.

Таким образом, мощность первого автомобиля в 4 раза больше мощности второго автомобиля.