На диаграмме изображен термодинамический цикл чему равна полезная работа
Тепловым двигателем называется устройство, способное превращать полученное количество теплоты в механическую работу. Механическая работа в тепловых двигателях производится в процессе расширения некоторого вещества, которое называется рабочим телом. В качестве рабочего тела обычно используются газообразные вещества (пары бензина, воздух, водяной пар). Рабочее тело получает (или отдает) тепловую энергию в процессе теплообмена с телами, имеющими большой запас внутренней энергии. Эти тела называются тепловыми резервуарами.
Как следует из первого закона термодинамики, полученное газом количество теплоты Q полностью превращается в работу A при изотермическом процессе, при котором внутренняя энергия остается неизменной (ΔU = 0):
Но такой однократный акт преобразования теплоты в работу не представляет интереса для техники. Реально существующие тепловые двигатели (паровые машины, двигатели внутреннего сгорания и т. д.) работают циклически. Процесс теплопередачи и преобразования полученного количества теплоты в работу периодически повторяется. Для этого рабочее тело должно совершать круговой процесс или термодинамический цикл, при котором периодически восстанавливается исходное состояние. Круговые процессы изображаются на диаграмме (p, V) газообразного рабочего тела с помощью замкнутых кривых (рис. 3.11.1). При расширении газ совершает положительную работу A1, равную площади под кривой abc, при сжатии газ совершает отрицательную работу A2, равную по модулю площади под кривой cda. Полная работа за цикл A = A1 + A2 на диаграмме (p, V) равна площади цикла. Работа A положительна, если цикл обходится по часовой стрелке, и A отрицательна, если цикл обходится в противоположном направлении.
|
Рисунок 3.11.1. Круговой процесс на диаграмме (p, V). abc – кривая расширения, cda – кривая сжатия. Работа A в круговом процессе равна площади фигуры abcd |
Общее свойство всех круговых процессов состоит в том, что их невозможно провести, приводя рабочее тело в тепловой контакт только с одним тепловым резервуаром. Их нужно, по крайней мере, два. Тепловой резервуар с более высокой температурой называют нагревателем, а с более низкой – холодильником. Совершая круговой процесс, рабочее тело получает от нагревателя некоторое количество теплоты Q1 > 0 и отдает холодильнику количество теплоты Q2 < 0. Полное количество теплоты Q, полученное рабочим телом за цикл, равно
При обходе цикла рабочее тело возвращается в первоначальное состояние, следовательно, изменение его внутренней энергии равно нулю (ΔU = 0). Согласно первому закону термодинамики,
Отсюда следует:
Работа A, совершаемая рабочим телом за цикл, равна полученному за цикл количеству теплоты Q. Отношение работы A к количеству теплоты Q1, полученному рабочим телом за цикл от нагревателя, называется коэффициентом полезного действия η тепловой машины:
 |
Модель. Термодинамические циклы. |
Коэффициент полезного действия указывает, какая часть тепловой энергии, полученной рабочим телом от «горячего» теплового резервуара, превратилась в полезную работу. Остальная часть (1 – η) была «бесполезно» передана холодильнику. Коэффициент полезного действия тепловой машины всегда меньше единицы (η < 1). Энергетическая схема тепловой машины изображена на рис. 3.11.2.
|
Рисунок 3.11.2. Энергетическая схема тепловой машины: 1 – нагреватель; 2 – холодильник; 3 – рабочее тело, совершающее круговой процесс. Q1 > 0, A > 0, Q2 < 0; T1 > T2 |
В двигателях, применяемых в технике, используются различные круговые процессы. На рис. 3.11.3 изображены циклы, используемые в бензиновом карбюраторном и в дизельном двигателях. В обоих случаях рабочим телом является смесь паров бензина или дизельного топлива с воздухом. Цикл карбюраторного двигателя внутреннего сгорания состоит из двух изохор (1–2, 3–4) и двух адиабат (2–3, 4–1). Дизельный двигатель внутреннего сгорания работает по циклу, состоящему из двух адиабат (1–2, 3–4), одной изобары (2–3) и одной изохоры (4–1). Реальный коэффициент полезного действия у карбюраторного двигателя порядка 30 %, у дизельного двигателя – порядка 40 %.
|
Рисунок 3.11.3. Циклы карбюраторного двигателя внутреннего сгорания (1) и дизельного двигателя (2) |
В 1824 году французский инженер С. Карно рассмотрел круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, который сыграл важную роль в развитии учения о тепловых процессах. Он называется циклом Карно (рис. 3.11.4).
|
Рисунок 3.11.4. Цикл Карно |
Цикл Карно совершает газ, находящийся в цилиндре под поршнем. На изотермическом участке (1–2) газ приводится в тепловой контакт с горячим тепловым резервуаром (нагревателем), имеющим температуру T1. Газ изотермически расширяется, совершая работу A12, при этом к газу подводится некоторое количество теплоты Q1 = A12. Далее на адиабатическом участке (2–3) газ помещается в адиабатическую оболочку и продолжает расширяться в отсутствие теплообмена. На этом участке газ совершает работу A23 > 0. Температура газа при адиабатическом расширении падает до значения T2. На следующем изотермическом участке (3–4) газ приводится в тепловой контакт с холодным тепловым резервуаром (холодильником) при температуре T2 < T1. Происходит процесс изотермического сжатия. Газ совершает работу A34 < 0 и отдает тепло Q2 < 0, равное произведенной работе A34. Внутренняя энергия газа не изменяется. Наконец, на последнем участке адиабатического сжатия газ вновь помещается в адиабатическую оболочку. При сжатии температура газа повышается до значения T1, газ совершает работу A41 < 0. Полная работа A, совершаемая газом за цикл, равна сумме работ на отдельных участках:
A = A12 + A23 + A34 + A41.
На диаграмме (p, V) эта работа равна площади цикла.
Процессы на всех участках цикла Карно предполагаются квазистатическими. В частности, оба изотермических участка (1–2 и 3–4) проводятся при бесконечно малой разности температур между рабочим телом (газом) и тепловым резервуаром (нагревателем или холодильником).
Как следует из первого закона термодинамики, работа газа при адиабатическом расширении (или сжатии) равна убыли ΔU его внутренней энергии. Для 1 моля газа
где T1 и T2 – начальная и конечная температуры газа.
Отсюда следует, что работы, совершенные газом на двух адиабатических участках цикла Карно, одинаковы по модулю и противоположны по знакам
По определению, коэффициент полезного действия η цикла Карно есть
С. Карно выразил коэффициент полезного действия цикла через температуры нагревателя T1 и холодильника T2:
Цикл Карно замечателен тем, что на всех его участках отсутствует соприкосновение тел с различными температурами. Любое состояние рабочего тела (газа) на цикле является квазиравновесным, т. е. бесконечно близким к состоянию теплового равновесия с окружающими телами (тепловыми резервуарами или термостатами). Цикл Карно исключает теплообмен при конечной разности температур рабочего тела и окружающей среды (термостатов), когда тепло может передаваться без совершения работы. Поэтому цикл Карно – наиболее эффективный круговой процесс из всех возможных при заданных температурах нагревателя и холодильника:
 |
Модель. Цикл Карно. |
Любой участок цикла Карно и весь цикл в целом может быть пройден в обоих направлениях. Обход цикла по часовой стрелке соответствует тепловому двигателю, когда полученное рабочим телом тепло частично превращается в полезную работу. Обход против часовой стрелки соответствует холодильной машине, когда некоторое количество теплоты отбирается от холодного резервуара и передается горячему резервуару за счет совершения внешней работы. Поэтому идеальное устройство, работающее по циклу Карно, называют обратимой тепловой машиной.
В реальных холодильных машинах используются различные циклические процессы. Все холодильные циклы на диаграмме (p, V) обходятся против часовой стрелки. Энергетическая схема холодильной машины представлена на рис. 3.11.5.
|
Рисунок 3.11.5. Энергетическая схема холодильной машины. Q1 < 0, A < 0, Q2 > 0, T1 > T2 |
Устройство, работающее по холодильному циклу, может иметь двоякое предназначение. Если полезным эффектом является отбор некоторого количества тепла |Q2| от охлаждаемых тел (например, от продуктов в камере холодильника), то такое устройство является обычным холодильником. Эффективность работы холодильника можно охарактеризовать отношением
т. е. эффективность работы холодильника – это количество тепла, отбираемого от охлаждаемых тел на 1 джоуль затраченной работы. При таком определении βх может быть и больше, и меньше единицы. Для обращенного цикла Карно
Если полезным эффектом является передача некоторого количества тепла |Q1| нагреваемым телам (например, воздуху в помещении), то такое устройство называется тепловым насосом. Эффективность βТ теплового насоса может быть определена как отношение
т. е. количеством теплоты, передаваемым более теплым телам на 1 джоуль затраченной работы. Из первого закона термодинамики следует:
следовательно, βТ всегда больше единицы. Для обращенного цикла Карно
ТЕМА: “РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА РАССЧЕТ РАБОТЫ В
ТЕРМОДИНАМИКЕ МЕТОДОМ ДИАГРАММ СОСТОЯНИЙ”.
Тип урока: урок закрепления изучаемого
материала.
Задачи урока.
Для ученика | Для учителя. |
Обучающие: | Обучающие: |
| а) осмыслить понятие “работа”; б) закрепить теоретические знания о в) научиться применять знания на | а) организовать процесс б) активизировать |
Развивающие: | Развивающие: |
а) развивать умение | а) развивать умение б) развивать умение обобщать и в) развивать умение разрешать |
Воспитывающие | Воспитывающие |
а) воспитывать б) воспитывать в себе “небоязнь” сложных | а) воспитывать умение б) воспитывать умение слушать, спорить; б) воспитывать умение интенсивно |
Оборудование. Дидактический материал.
1. Графопроектор, слайды.
2. Раздаточный материал.
3. Задачник. Л. А. Кирик. Физика-10.
Разноуровневые самостоятельные и контрольные
работы. М.: “Илекса”, 2004. – 192.: ил.
Ход урока
Введение.
Сегодня второй урок по теме: “ Работа в
термодинамике”. Усвоили ли Вы на первом уроке
физическую сущность работы в термодинамических
процессах? Решение задач сегодня это покажет. Наш
урок пройдёт в форме аукциона. Аукцион (“auctio”
(лат.) – продажа с публичных торгов) – способ
продажи, при котором товар предварительно
выставляют для осмотра. Я выставляю типы задач на
аукцион, объявляю количество баллов за каждый
тип. Вы предлагаете ответы, получаете за них
баллы, которые будут суммироваться
индивидуально у каждого из Вас. В конце урока
суммированные баллы определят Ваши отметки. За
урок можно получить одну и более отметок. (1
минута)
Основная часть. Аукцион задач.
1. Начнём с “аукциончика”
графиков (проецирую на экран слайд с графиками
через графопроектор).
(2 минуты).
Задача №1. На аукцион выставлены три
очень известных графические зависимости в осях
(p,V). (Рис. 1).
Какую информацию Вы можете извлечь из
этих диаграмм?
Отвечайте, пожалуйста, по одному.
Правильный ответ – 0,5 балла.
Рис. 1
Ответы:
1. первый процесс – изобарное 2. второй процесс – изохорное 3. третий процесс – изотермическое 4. А1 = p (V2 –V1). | 5. А2 =0. 6. А3 = ? R T ln V2 /V1 7. А1 > 0. 8. А3 < 0. |
(Учащиеся отвечают устно с мест.)
Итоги “аукциончика”. (Объявляю баллы.)
2. От предварительного
“аукциончика” простейших графиков мы
продвигаемся к “аукциону простых задач”.
На аукцион выставлены на выбор задача
№ 5 (средний уровень) по цене 0,5 балла и задача
№ 1
(достаточный уровень) по цене 1 балл
на стр. 39 задачника.
Решения этих задачи потребуются в
дальнейшем при рассмотрении более сложных задач.
Время решения 2 минуты.
Задача №2.
Вариант А на 0,5 балла.
На рисунке 2 показана изобара газа в
координатах р, V. Определите работу,
совершенную газом в процессе расширения.
Рис. 2
Решение.
А = p (V2 –V1).
А = 1,2 МДж.
Вариант Б на 1 балл.
Азот массой 280 г был нагрет при постоянном
давлении на 100 °С. Определить работу расширения
газа.
Решение.
А = p ?V; p ?V = m/µ R?T; А = m/µ R?T.
А = 8,31 кДж.
(Учащиеся выполняют задачи в тетрадях и,
получив ответ, поднимают руку. Учитель подходит к
ним проверяет и выставляет баллы за правильный
ответ. Два ученика в это время решают задачи на
обратной стороне доски. Через 2 мин открываем
решения на доске, проверяем его. Ученики у доски
получают баллы в случае правильного решения).
Итоги “аукциона простых задач”.
(Объявляю баллы.)
3. Теперь перейдём к “аукциону
задач”.
Итак, нахождение работы с помощью
графика зависимости р(V). За задачу можно
заработать 3 балла. Эта задача № 3 на карточке
лежащей, на парте.
Задача №3. Газ расширился из
состояния с объемом V1 и давлением р1 в
состояние с объёмом V2 и давлением р2 в
процессе, при котором его давление зависит от
объёма линейно. Найти работу газа. Давление р1
меньше давления р2. . Время решения 2 мин.
Решение.
Построим график зависимости,
указанной в задаче, в координатах (р, V).
Рис. 3
Работа газа численно равна площади
трапеции.
А= ? (p1+ p2) (V2 – V1).
(Учащиеся выполняют задачу в тетрадях
и, получив ответ, поднимают руку. Учитель
подходит, проверяет и выставляет 2 балла за
правильный ответ. Через фиксированное время
проецируется помощь (через 1 мин) и решение задачи
(через 2 мин) с помощью графопроектора. Один
ученик решает задачу на пленке графопроектора,
лампа которого выключены. Через 2 мин
проецируется решение, ученик делает пояснение).
Итоги “аукциона задач”. (Объявляю
баллы.)
4. На аукцион выставляется хорошая
задача на нахождение работы с помощью диаграммы
состояния в осях (р, V). Итак, “аукцион хороших
задач”. Эта задача № 4 на карточке лежащей,
на парте. (Приложение). Правильное
решение задачи оценивается в 5 баллов. В процессе
решения я буду проецировать на экран подсказки.
Сделавший всю задачу до подсказки, получит за неё
4 балла, после первой подсказки – 3 балла, после
второй – 2 балла, а затем открывается всё решение
задачи.
(В подсказках поэтапно открываю: 1.
изотерму; 2. формулу работы).
Задача № 4.
Идеальный газ переводят изотермически
из состояния 1 в состояние 2 (V2< V1),
затем изобарно в состояние 3, возвращают изохорно
в состояние 1. Начертите данный процесс в осях
(р,V). Покажите штриховкой площадь, численно
равную работе за цикл. Положительную или
отрицательную работу совершает газ за цикл?
Поясните. Время решения 3 мин.
Решение:
Рис. 4
А = А12 + А23 + А31.
А12 < 0;
А23 > 0 Работа на участке 2 – 3
максимальна по модулю.
А31 =0.
Полная работа за цикл положительна.
(Учащиеся выполняют задачу в тетрадях
и, получив ответ, поднимают руку. Учитель
подходит, проверяет и выставляет 5 баллов за
правильное решение. Через отведенное время
проецируется решение задачи через
графопроектор. Решение на слайде пишет и
поясняет ученик, который сделал задачу первым).
Итоги “аукциона сложных задач”.
(Объявляю баллы).
5. На аукцион выставляется сложная
задача. Эта задача № 5 на карточке лежащей,
на парте. (Приложение). Ее правильное
решение оценивается в 5 баллов. Итак, “Аукцион
сложных задач”. Время выполнения задачи 5
минут.
Задача №5. С молем идеального одноатомного
газа совершен цикл, изображенный на рис. 5.
Температуры газа в различных состояниях равны Т1,
Т2, Т3, Т4. Найдите работу газа за
цикл.
Рис. 5
Подсказка-вопрос: А что Вы предполагаете
делать? (Ответ: Изобразить данный цикл в
координатах (p,V).)
Вопрос: Подумайте, а стоит ли?
Решение.
Из рис. 5 видно, что на участках 1 – 2 и 3 – 4
реализуется прямая пропорциональная
зависимость давления от температуры, т. е., как
следует из закона Менделеева — Клапейрона, объем
газа при этом не меняется, а значит, и работы газ
не совершает.
Необходимо найти работу газа лишь при
изобарических процессах 2 — 3 и 4 — 1.
На участке 2 — 3 совершенная работа будет равна
А23 = р2 (V3 – V2).
На участке 4 — 1 совершенная работа будет равна
А41 = р1 (V1 – V4).
Работа за цикл А = р2 (V3 – V2). + р1
(V1 – V4).
Уравнение Менделеева — Клапейрона
записывается в виде p V=? R T.
р1 V1 = v R T1 ; р1 V4
= v R T4 ; р2 V3 = v R T3 ;
р2 V2= v R T2.
Подставляя эти значения в выражение для работы,
получаем окончательно:
А = v R(T1 + T3 – T2 – T4).
(Решение проецируется через
графопроектор. Решение на слайде пишет и
поясняет ученик, сделавший задачу первым).
Итоги “аукциона сложных задач”.
(Объявляю баллы.)
6. Наконец, на аукцион выставляется
самая сложная на сегодняшний урок задача.
Начинаем “Аукцион конкурсных
задач”. Эта задача № 6 на карточке лежащей,
на парте. (Приложение). Правильное
решение задачи оценивается в 5 + 5 баллов. Время
решения 7 мин.
Тем, кого не устраивает эта задача,
предлагаю решить №1 (высокий уровень) стр. 40
задачника. Правильное решение – 5 баллов.
Задача № 6.
Вариант А на 5 баллов.
Один моль идеального газа совершает замкнутый
процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар
(Рис. 6). Температура в точке1 равна T1, в точке
3 — T3. Определить работу, совершаемую газом
за цикл, если точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.
Рис. 6
Решение.
На участках 1 —2 и 3 —4 работа равна
нулю.
Полная работа газа за цикл: А = А23
+ А41.
А23 = р2 (V3 – V2). Используя
уравнение Менделеева—Клапейрона, получим: р2
V3 = v R T3;
р2 V2= v R T2. Таким образом, А23
= v R T3 – v R T2.
Аналогично, А41 = v R T1 – v R T4.
Полная работа А = v R T3 – v R T2. +
v R T1 – v R T4. По условию T2
= T4.
А = v R T3. + v R T1 – 2v R T2.
Выразим T2. через T1 и T3.
Процесс 1—2 — изохорический, поэтому T1 / T2
= р1 / р2 .
В изобарическом процессе 2—3 T3 / T2 = V3
/ V2.
Умножив первое равенство на второе, получим:. T1
T3 / T 22 = р1 V3 / р2
V2 .
Учтем, что р1 = р4 и V3 = V4.
T1 T3 / T 22 = р4 V4 /
р2 V2;но р4 V4 = р2
V2; поэтому T1 T3 / T22 = 1.
T2 = v T1 T3 .
Работа за цикл А = v R (T3. + T1 – 2 v
T1 T3).
Окончательно получаем: А = v R (vT3. – v
T1)?.
Вариант Б на 5 + 5 баллов.
Над одним молем идеального газа совершается
цикл, показанный графически на рисунке 7. Какую
работу совершает газ во время этого процесса?
Данные взять с рисунка.
Рис. 7
Подсказка-вопрос: А что Вы предполагаете
делать? (Ответ: Изобразить данный цикл в
координатах (p,V)).
Правильно.
Решение.
Нарисуем график зависимости в координатах (p,V).)
для данного процесса (рис. 8).
Рис. 8
На участке 1 —2 давление меняется по закону р = V, где — некоторая постоянная.
Выразим температуру газа через давление: Т = р2
/2 и
подставим в уравнение Менделеева—Клапейрона.
Получим р = 2
V/vR. Давление прямо пропорционально объему.
На этом участке газ совершает положительную
работу. Процесс 2—3 — изохорический, во время
этого процесса работа равна нулю. В
изобарическом процессе 3—1 работа совершалась
над газом, т. е. газ совершал отрицательную
работу. Полная работа газа равна площади
треугольника 1 2 3:
А = (р2 – р1) (V2–V1) /2.
Так как V2 = v R T2 / р2, V1 =
vRT1 / р1, окончательно получаем:
А = 0,5 v R (р2 – р1) (T2 / р2
– T1 / р1).
(Решение пишет на доске и поясняет
первый ученик, решивший задачу).
Итоги“Аукциона конкурсных
задач”. (Объявляю баллы.)
7. В заключение урока предлагаю “аукцион
олимпиадных задач”. Пятерка достанется только
одному ученику за идею и мгновенный ответ.
Задача №7.
Газ переводят из состояния 1 в состояние 3 в
процессе, изображенном на диаграмме в
координатах (p,V). (Проецирую на экран слайд через
графопроектор).
Линии 1 – 2 и 2 – 3 представляют собой
полуокружности равных диаметров. Найти работу
газа в данном процессе. Данные взять с диаграммы.
Рис. 9
Решение.
Преобразуем графическую зависимость к виду:
| Рис. 10
| Рис. 11
|
Работа газа численно равна площади
прямоугольника:
А = р0 (5V0 – V0).
А = 4 р0V0.
(Решение проецируется через
графопроектор. Решение на слайде пишет и
поясняет первый ученик, решивший задачу).
Задание на дом. . Предлагается решить
достаточно сложную задачу №8. Её цена 5 + 5
баллов. Задача №8 помещена на стенде
кабинета.
Тем, кого не устраивает эта задача, предлагаю
решить № 31. 1 и 31. 4 на стр. 160 учебника под ред. А. А.
Пинского.
Задача №8. Найдите работу, совершенную молем
идеального газа в цикле, состоящем из двух
участков линейной зависимости давления от
объема и изохоры (рис. 12). Точки 2 и 3 лежат на
изотерме, прямая 3— 1 проходит через начало
координат. Заданы температуры Т1, и Т2,
Т3. .
Рис. 12
Решение:
Работа на изохоре 1 – 2 равна нулю. Работа на
участке 2 – 3 равна площади трапеции. Учтя, что
р 2V 2 = р 3V 3 = ?RT 2,
имеем:
Поскольку прямая 3 – 1 проходит через начало
координат и, следовательно, р1/V1 = р3/V3
получаем:
Т 1/V12 = Т 2/V22
= Т 3/V32 . Поэтому работу А 23
можно окончательно записать в виде:
Работа на участке 3—1 тоже равна площади
трапеции:
Искомая работа в цикле равна:
Для участка прямой 2—3, соединяющего точки
изотермы, так же как и для самой изотермы, работа
газа определяется лишь отношением объемов.
Работа же газа вдоль участка произвольной
прямой, проходящей через начало координат на
диаграмме р V, определяется лишь разностью
температур конечного и начального состояний.
Заключение.
Сегодня было выставлено на интеллектуальный
аукцион немало задач, и вы с ними справились.
“Много задач вместе иногда решить легче, чем
одну из них, если то большее число задач хорошо
согласовано, а одна задача сама по себе
изолирована” (Д. Пойа). Не правда ли?
Окончательные итоги. Максимальное количество
решенных задач за урок –
Максимальная оценка за урок –
(Объявляю оценки. Некоторые учащиеся могут
получить за урок несколько оценок за интенсивную
умственную работу).
Надеюсь, все получили удовольствие от
интеллектуальной деятельности.
Литература.
1. Физика: Учеб. для 10 кл. шк. и кл. с углубл.
изучением физики / О. Ф. Кабардин, В. В. Орлов, Э. Е.
Эвенчик. ; под ред. А. А. Пинского. – 7-е изд. –М.:
Просещение, 2002. – 415 с.: ил.
2. Л. А. Кирик. Физика-10. Разноуровневые
самостоятельные и контрольные работы. М.:
“Илекса”, 2004. – 192 с.: ил.
3. Практикум абитуриента. Молекулярная
физика, оптика, квантовая физика. Под ред. В. В
Можаева и А. И. Черноацана. Приложение к журналу
“Квант” №2, 1995. – М.: – Бюро “Квантум”.
4. Ю. А. Конаржевский. Анализ урока. М.: – Центр
“педагогический поиск”, 2003. – 336с.