Как найти высоту при массе и полезной энергии

Найдем, чему равна работа

, совершаемая некоторой силой

 при подъеме тела массы

 на высоту

. Будем считать, что движение тела происходит медленно и что силами трения можно пренебречь. Мы знаем (§ 94), что работа против силы тяжести не зависит от того, как мы поднимаем тело: по вертикали (как гирю в часах), по наклонной плоскости (как при втаскивании сапок в гору) или еще каким-либо способом. Во всех случаях работа

. При опускании тела на первоначальный уровень сила тяжести произведет такую же работу, какая была затрачена силой

 на подъем тела. Значит, поднимая тело, мы запасли работу, равную

, т. е. поднятое тело обладает энергией, равной произведению силы тяжести, действующей на это тело, и высоты, на которую оно поднято. Эта энергия не зависит от того, по какому пути происходил подъем, а определяется лишь положением тела (высотой на которую оно поднято) и называется потенциальной энергией. Итак, потенциальная энергия

 тела, поднятого на некоторую высоту, выражается формулой

. (97.1)

При данном исходном положении тела работа, которую может совершить тело, т. е. его потенциальная энергия, зависит от того, насколько тело может опуститься. В гиревом механизме часов это определяется длиной цепочки, на которой висит гиря, в примере с наклонной плоскостью — высотой наивысшей точки наклонной плоскости над ее наинизшей точкой. В других случаях наинизший уровень не может быть так естественно определен. Например, если тело лежит на столе, то можно определять его потенциальную энергию той работой, которую оно совершило бы, опускаясь до пола, до уровня земли или до дна погреба и т. д. Поэтому нужно условиться заранее, от какого уровня отсчитывать высоту, а вместе с тем и потенциальную энергию тела. Выбрать этот уровень можно совершенно произвольно, так как во всех физических явлениях всегда бывает важна не сама потенциальная энергия, а ее изменение, которым определяется совершаемая работа. Изменение же потенциальной энергии будет, очевидно, одним и тем же, какой бы мы ни выбрали исходный уровень.

Если не оговорено противное, мы будем считать потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности земли, равной нулю. Тогда в формуле (97.1) в качестве

 следует брать высоту тела над поверхностью земли. Если тело имеет значительные размеры, то под

 в формуле (97.1) нужно понимать расстояние от поверхности земли (или от иного нулевого уровня) до центра тяжести тела.

Рис. 164. При переходе столба из положения
 в положение

; сила тяжести не совершает работы, так как центр тяжести тела остается на месте. При переходе из положения

 в положение

 совершается работа

Определим, например, на сколько потенциальная энергия вертикально стоящего столба (рис. 164, положение

) больше потенциальной энергии того же столба, лежащего на земле (положение

). Представим себе, что столб переходит из положения

 в положение

 в два приема. Сначала он поворачивается вокруг центра тяжести (в данном случае около средней точки) в положение

. При этом верхняя часть столба опускается, а нижняя поднимается, и сила тяжести совершает над верхней частью столба положительную, а над нижней — равную ей отрицательную работу, и полная работа силы тяжести равна нулю. Только при переходе из положения

 в положение

 сила тяжести совершает положительную работу. Следовательно, потенциальная энергия стоящего на земле столба больше потенциальной энергии столба, лежащего на земле, на величину

, где

 — масса столба и

 — разность высот центра тяжести в положениях

 и

.

При подсчете потенциальной энергии жидкости массы

, находящейся в цилиндрическом сосуде (рис. 165), следует взять высоту

 центра тяжести жидкости

 над нулевым уровнем, т. е. высоту

 дна сосуда над нулевым уровнем, плюс половину высоты уровня жидкости в сосуде

, так что потенциальная энергия

.

Рис. 165. к расчету потенциальной энергии жидкости в сосуде

97.1.
Ящик массы 40 кг, размеры которого показаны на рис. 166, переведен из положения а) в положение б). Определите приращение потенциальной энергии ящика, считая, что его центр тяжести лежит на пересечении диагоналей.

Рис. 166. К упражнению 97.1

97.2.
Водохранилище при гидростанции имеет цилиндрическую форму: его площадь равна

, глубина равна 6 м. Дно водохранилища лежит на высоте 12 м над уровнем воды в отводном канале за гидростанцией. Какова потенциальная энергия воды в хранилище?

1. Камень, упав с некоторой высоты на Землю, оставляет на поверхности Земли вмятину. Во время падения он совершает работу по преодолению сопротивления воздуха, а после касания земли — работу по преодолению силы сопротивления почвы, поскольку обладает энергией. Если накачивать в закрытую пробкой банку воздух, то при некотором давлении воздуха пробка вылетит из банки, при этом воздух совершит работу по преодолению трения пробки о горло банки, благодаря тому, что воздух обладает энергией. Таким образом, тело может совершить работу, если оно обладает энергией. Энергию обозначают буквой ​( E )​. Единица работы — ​( [E,] )​ = 1 Дж.

При совершении работы изменяется состояние тела и изменяется его энергия. Изменение энергии равно совершенной работе: ​( E=A )​.

2. Потенциальной энергией называют энергию взаимодействия тел или частей тела, зависящую от их взаимного положения.

Поскольку тела взаимодействуют с Землёй, то они обладают потенциальной энергия взаимодействия с Землёй.

Если тело массой ​( m )​ падает с высоты ​( h_1 )​ до высоты ​( h_2 )​, то работа силы тяжести ​( F_т )​ на участке ​( h=h_1-h_2 )​ равна: ​( A = F_тh = mgh = mg(h_1 — h_2) )​ или ( A = mgh_1 — mgh_2 ) (рис. 48).

В полученной формуле ​( mgh_1 )​ характеризует начальное положение (состояние) тела, ( mgh_2 ) характеризует конечное положение (состояние) тела. Величина ( mgh_1=E_{п1} ) — потенциальная энергия тела в начальном состоянии; величина ( mgh_2=E_{п2} ) — потенциальная энергия тела в конечном состоянии.

Можно записать ​( A=E_{п1}-E_{п2} )​, или ( A=-(E_{п2}-E_{п1}) ), или ( A=-E_{п} ).

Таким образом, работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела. Знак «–» означает, что при движении тела вниз и соответственно при совершении силой тяжести положительной работы потенциальная энергия тела уменьшается. Если тело поднимается вверх, то работа силы тяжести отрицательна, а потенциальная энергия тела увеличивается.

Если тело находится на некоторой высоте ​( h )​ относительно поверхности Земли, то его потенциальная энергия в данном состоянии равна ​( E_п=mgh )​. Значение потенциальной энергии зависит от того, относительно какого уровня она отсчитывается. Уровень, на котором потенциальная энергия равна нулю, называют нулевым уровнем.

В отличие от кинетической энергии потенциальной энергией обладают покоящиеся тела. Поскольку потенциальная энергия — это энергия взаимодействия, то она относится не к одному телу, а к системе взаимодействующих тел. В данном случае эту систему составляют Земля и поднятое над ней тело.

3. Потенциальной энергией обладают упруго деформированные тела. Предположим, что левый конец пружины закреплён, а к правому её концу прикреплён груз. Если пружину сжать, сместив правый её конец на ​( x_1 )​, то в пружине возникнет сила упругости ​( F_{упр1} )​, направленная вправо (рис. 49).

Если теперь предоставить пружину самой себе, то её правый конец переместится, удлинение пружины будет равно ( x_2 )​, а сила упругости ( F_{упр2} ).

Работа силы упругости равна

[ A=F_{ср}(x_1-x_2)=k/2(x_1+x_2)(x_1-x_2)=kx_1^2/2-kx_2^2/2 ]

​( kx_1^2/2=E_{п1} )​ — потенциальная энергия пружины в начальном состоянии, ( kx_2^2/2=E_{п2} ) — потенциальная энергия пружины во конечном состоянии. Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины.

Можно записать ​( A=E_{п1}-E_{п2} )​, или ( A=-(E_{п2}-E_{п1}) ), или ( A=-E_{п} ).

Знак «–» показывает, что при растяжении и сжатии пружины сила упругости совершает отрицательную работу, потенциальная энергия пружины увеличивается, а при движении пружины к положению равновесия сила упругости совершает положительную работа, а потенциальная энергия уменьшается.

Если пружина деформирована и её витки смещены относительно положения равновесия на расстояние ​( x )​, то потенциальная энергия пружины в данном состоянии равна ​( E_п=kx^2/2 )​.

4. Движущиеся тела так же могут совершить работу. Например, движущийся поршень сжимает находящийся в цилиндре газ, движущийся снаряд пробивает мишень и т.п. Следовательно, движущиеся тела обладают энергией. Энергия, которой обладает движущееся тело, называется кинетической энергией. Кинетическая энергия ​( E_к )​ зависит от массы тела и его скорости ( E_к=mv^2/2 ). Это следует из преобразования формулы работы.

Работа ​( A=FS )​. Сила ​( F=ma )​. Подставив это выражение в формулу работы, получим ​( A=maS )​. Так как ​( 2aS=v^2_2-v^2_1 )​, то ​( A=m(v^2_2-v^2_1)/2 )​ или ( A=mv^2_2/2-mv^2_1/2 ), где ​( mv^2_1/2=E_{к1} )​ — кинетическая энергия тела в первом состоянии, ( mv^2_2/2=E_{к2} ) — кинетическая энергия тела во втором состоянии. Таким образом, работа силы равна изменению кинетической энергии тела: ​( A=E_{к2}-E_{к1} )​, или ​( A=E_к )​. Это утверждение — теорема о кинетической энергии.

Если сила совершает положительную работу, то кинетическая энергия тела увеличивается, если работа силы отрицательная, то кинетическая энергия тела уменьшается.

5. Полная механическая энергия ​( E )​ тела — физическая величина, равная сумме его потенциальной ​( E_п )​ и кинетической ( E_п ) энергии: ( E=E_п+E_к ).

Пусть тело падает вертикально вниз и в точке А находится на высоте ​( h_1 )​ относительно поверхности Земли и имеет скорость ​( v_1 )​ (рис. 50). В точке В высота тела ( h_2 ) и скорость ( v_2 ) Соответственно в точке А тело обладает потенциальной энергией ​( E_{п1} )​ и кинетической энергией ( E_{к1} ), а в точке В — потенциальной энергией ( E_{п2} ) и кинетической энергией ( E_{к2} ).

При перемещении тела из точки А в точку В сила тяжести совершает работу, равную А. Как было показано, ​( A=-(E_{п2}-E_{п1}) )​, а также ( A=E_{к2}-E_{к1} ). Приравняв правые части этих равенств, получаем: ​( -(E_{п2}-E_{п1})=E_{к2}-E_{к1} )​, откуда ( E_{к1}+E_{п1}=E_{п2}+E_{к2} ) или ​( E_1=E_2 )​.

Это равенство выражает закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют консервативные силы (силы тяготения или упругости) сохраняется.

В реальных системах действуют силы трения, которые не являются консервативными, поэтому в таких системах полная механическая энергия не сохраняется, она превращается во внутреннюю энергию.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. Два тела находятся на одной и той же высоте над поверхностью Земли. Масса одного тела ​( m_1 )​ в три раза больше массы другого тела ​( m_2 )​. Относительно поверхности Земли потенциальная энергия

1) первого тела в 3 раза больше потенциальной энергии второго тела
2) второго тела в 3 раза больше потенциальной энергии первого тела
3) первого тела в 9 раз больше потенциальной энергии второго тела
4) второго тела в 9 раз больше потенциальной энергии первого тела

2. Сравните потенциальную энергию мяча на полюсе ​( E_п )​ Земли и на широте Москвы ​( E_м )​, если он находится на одинаковой высоте относительно поверхности Земли.

1) ​( E_п=E_м )​
2) ( E_п>E_м )
3) ( E_п<E_м )
4) ( E_пgeq E_м )

3. Тело брошено вертикально вверх. Его потенциальная энергия

1) одинакова в любые моменты движения тела
2) максимальна в момент начала движения
3) максимальна в верхней точке траектории
4) минимальна в верхней точке траектории

4. Как изменится потенциальная энергия пружины, если её удлинение уменьшить в 4 раза?

1) увеличится в 4 раза
2) увеличится в 16 раз
3) уменьшится в 4 раза
4) уменьшится в 16 раз

5. Лежащее на столе высотой 1 м яблоко массой 150 г подняли относительно стола на 10 см. Чему стала равной потенциальная энергия яблока относительно пола?

1) 0,15 Дж
2) 0,165 Дж
3) 1,5 Дж
4) 1,65 Дж

6. Скорость движущегося тела уменьшилась в 4 раза. При этом его кинетическая энергия

1) увеличилась в 16 раз
2) уменьшилась в 16 раз
3) увеличилась в 4 раза
4) уменьшилась в 4 раза

7. Два тела движутся с одинаковыми скоростями. Масса второго тела в 3 раза больше массы первого. При этом кинетическая энергия второго тела

1) больше в 9 раз
2) меньше в 9 раз
3) больше в 3 раза
4) меньше в 3 раза

8. Тело падает на пол с поверхности демонстрационного стола учителя. (Сопротивление воздуха не учитывать.) Кинетическая энергия тела

1) минимальна в момент достижения поверхности пола
2) минимальна в момент начала движения
3) одинакова в любые моменты движения тела
4) максимальна в момент начала движения

9. Книга, упавшая со стола на пол, обладала в момент касания пола кинетической энергией 2,4 Дж. Высота стола 1,2 м. Чему равна масса книги? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1) 0,2 кг
2) 0,288 кг
3) 2,0 кг
4) 2,28 кг

10. С какой скоростью следует бросить тело массой 200 г с поверхности Земли вертикально вверх, чтобы его потенциальная энергия в наивысшей точке движения была равна 0,9 Дж? Сопротивлением воздуха пренебречь. Потенциальную энергию тела отсчитывать от поверхности земли.

1) 0,9 м/с
2) 3,0 м/с
3) 4,5 м/с
4) 9,0 м/с

11. Установите соответствие между физической величиной (левый столбец) и формулой, по которой она вычисляется (правый столбец). В ответе запишите подряд номера выбранных ответов

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A. Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землёй
Б. Кинетическая энергия
B. Потенциальная энергия упругой деформации

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
1) ​( E=mv^2/2 )​
2) ( E=kx^2/2 )​
3) ( E=mgh )​

12. Мяч бросили вертикально вверх. Установите соответствие между энергией мяча (левый столбец) и характером её изменения (правый столбец) при растяжении пружины динамометра. В ответе запишите подряд номера выбранных ответов.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A. Потенциальная энергия
Б. Кинетическая энергия
B. Полная механическая энергия

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
1) Уменьшается
2) Увеличивается
3) Не изменяется

Часть 2

13. Пуля массой 10 г, движущаяся со скоростью 700 м/с, пробила доску толщиной 2,5 см и при выходе из доски имела скорость 300 м/с. Определить среднюю силу сопротивления, воздействующую на пулю в доске.

Ответы